Drehung von komplexen Zahlen

Question

Sei \( z \in \mathbb{C} \) eine komplexe Zahl mit \( |z|=1 \) und \( z \neq \pm 1 \).

(1) Geben Sie eine Formel für eine komplexe Zahl \( w \) an, die auf der Winkelhalbierenden zwischen 1 und \( z \) liegt und für die \( |w|=1 \) gilt.
(2) Zeigen Sie, dass für Ihre Antwort \( w^{2}=z \) gilt.
(3) Geben Sie für \( z=a+i b \) die Matrix \( A \in O(2) \) an, die die Spiegelung an der Achse \( w \in \mathbb{C} \cong \mathbb{R}^{2} \) beschreibt.

Ansatz:

Also die Winkelhalbierende ist 1+z=(1+0i)+(x+yi)=(x+1)+yi=w.

\( w^{2}=z \) stimmt aber nicht....

Comments

Winkelhalbierende zwischen 1 und \( z \)

Meiner Meinung nach ist das kein klar definierter Begriff !

"Winkelhalbierende" bezieht sich ja jeweils auf zwei Geraden (oder Strahlen).

Answer 1

Klar stimmt \(w^2=z\) nicht, weil Du ja nur die erste Bedingung verarbeitet hast, aber nicht die zweite.

\(w=1+z\) hat den richtigen Winkel, aber nicht die richtige Länge. Länge 1 erreicht man über \(\frac{w}{|w|}\).

Viel einfacher aber wird es mit Polarkoordinaten (bei Drehungen und allem mit Winkeln ist das viel einfacher). Laut Vorgabe gilt \(z=1\cdot e^{i\varphi}\), dann ist sofort \(w=e^{i\frac12\varphi}\).

Für (3) (und generell bei solchen Aufgaben): als erstes stets eine Skizze!

Dann siehst Du: Bei der Spiegelung bleibt der Betrag erhalten. Dann überleg an der Skizze, was mit dem Winkel passiert.

Comments

Danke für den Hinweis. Ein banaler Fehler, der mir gar nicht aufgefallen ist.

Anschaulich ist mir klar, dass w^2=z sein muss. In C ist die Multiplikation der Längen (1*1=1) und die Summe der eingeschlossenen Winkel der Vektoren mit der X-Achse (gegen den Uhrzeigersinn).

Ich weiß leider nicht, wie man eine Skizze hier einfügen kann, aber da wir z,w,1 am Einheitskreis betrachten und w die Winkelhalbierende ist, muss also |w^2|=1 und deshalb w^2=z sein. w halbiert den Kreisbogen zwischen 1 und z, sodass zweimal dieser Winkel genau der Winkel von Z und 1 ist.

Rechnerisch klappt das bei w=(1+z)/|1+z| bei mir nicht.

Eigentlich sollte doch einfach w^2=z=x+yi herauskommen....

$$ w^2 = (\frac {1+z}{|1+z|})^2   $$

$$ z=x+yi  also  1+z=(x+1)+yi  und  |1+z|=\sqrt{(x+1)^2+y^2}$$

 $$w^2 = \frac {((x+1)+yi)^2}{(x+1)^2+y^2} = \frac {(x+1)^2 +2(x+1)yi-y^2}{(x+1)^2+y^2}\neq z=x+yi$$

Wo ist mein Fehler?

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\(w^2 = \frac {((x+1)+yi)^2}{(x+1)^2+y^2} = \frac {(x+1)^2 +2(x+1)yi-y^2}{(x+1)^2+y^2}= \frac {(x+1)^2 +\pink{y^2}+2(x+1)yi-\pink{y^2}-y^2}{(x+1)^2+y^2}\)

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Danke für den Hinweis. Ein banaler Fehler, der mir gar nicht aufgefallen ist.

Anschaulich ist mir klar, dass w^2=z sein muss. In C ist die Multiplikation der Längen (1*1=1) und die Summe der eingeschlossenen Winkel der Vektoren mit der X-Achse (gegen den Uhrzeigersinn).

Ich weiß leider nicht, wie man eine Skizze hier einfügen kann, aber da wir z,w,1 am Einheitskreis betrachten und w die Winkelhalbierende ist, muss also |w^2|=1 und deshalb w^2=z sein. w halbiert den Kreisbogen zwischen 1 und z, sodass zweimal dieser Winkel genau der Winkel von Z und 1 ist.

Rechnerisch klappt das bei w=(1+z)/|1+z| bei mir nicht.

Eigentlich sollte doch einfach w^2=z=x+yi herauskommen....

$$ w^2 = (\frac {1+z}{|1+z|})^2   $$

$$ z=x+yi  also  1+z=(x+1)+yi  und  |1+z|=\sqrt{(x+1)^2+y^2}$$

 $$w^2 = \frac {((x+1)+yi)^2}{(x+1)^2+y^2} = \frac {(x+1)^2 +2(x+1)yi-y^2}{(x+1)^2+y^2}\neq z=x+yi$$

Wo ist mein Fehler?

Bei (3) hätte ich einfach diese Matrix genommen:

$$W=\begin{pmatrix} x+1 & y \\ y & -(x+1) \end{pmatrix}$$

w geht durch den Ursprung. w ist unsere Spiegelachse.

$$W*1=W*(1,0)^t=z$$

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Warum willst du so kompliziert rechnen? In Polardarstellung ist das ein Halbzeiler (wenn man groß schreibt). Skizze ist für (3) hilfreich, nicht für (1), (2).

Natürlich müsste es so aber auch hinkommen.

Woher Du die Matrix hast, weiß ich nicht. Erst sollte man rechnen, dann die Matrix ablesen.

Kann ich gerade nicht überprüfen. Später...

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\(w^2\) ist natürlich nicht für beliebiges \(z\) gleich \(z\), sondern nur für solche mit \(|z|=1\). Benutze also \(x²+y²=1\) in Deinen Umformungen, das sollte die Sache deutlich vereinfachen.

Answer 2

Ich steuere noch eine rein "komplexe" Lösung für (2) bei, ich benutze: \(|z|^2=z\bar{z}\):

$$w^2=\left(\frac{1+z}{|1+z|}\right)^2=\frac{1+2z+z^2}{(1+z)(1+\bar{z})}=\frac{z(\bar{z}+2+z)}{1+z+\bar{z}+1}=z$$

Answer 3

Es ist z= cosφ + i sinφ

Dann ist w= cos(φ/2) + i sin(φ/2).

Was auch geht: w=\( \frac{\frac{1+z}{2}}{|\frac{1+z}{2}|} \)

Nachtrag (ist mir erst nach dem Beitrag von nudger aufgefallen):

w=\( \frac{1+z}{|1+z|} \) ist natürlich kürzer und liefert das gleiche Ergebnis.

Comments

Vielen Dank für deine Antwort. Ich probiere die Aufgabe auch mal mit "der Sinus/cosinus"-Formel aus.