Bestimmen Sie die zugehörige Funktionsgleichung (Steckbriefaufgabe)

Question

Aufgabe:

Der Graph einer Ganzrationalen Funktion 5. Grades ist punktsymmetrisch zum Nullpunkt. Er
schneidet die x-Achse bei \(x=2\) und hat in ein lokales Maximum bei \((1|\,2)\).
a) Bestimmen Sie die zugehörige Funktionsgleichung

Problem/Ansatz:

1. Schritt: Symmetrie

f(x)= a\( x^{5} \) + b\( x^{4} \) + c\( x^{3} \) + d\( x^{2} \) + ex + f

punktsymmetrisch: f(x)= a\( x^{5} \)+ d\( x^{2} \) + ex

2. Schritt: Ableitungen bilden

f(x)= 5ax^4+ 3bx^2+ e

f"(x)= 20ax^3 + 6cx

3. Schritt: Bedingungen aufstellen

1. f(2)= 0

2. f(1)= 2

3. f(x)= 0

4. Schritt: LGS aufstellen

1: 32a + 8c + 2e = 0

2: a + c + e = 2

3: 5a + 3c + e = 0

4: b= 0

5: d= 0

6: f=0

5.Schritt: im GTR eingeben und Funktionsgleichung aufstellen

f(x)= \( \frac{1}{9} \)\( x^{5} \) - \( \frac{11}{9} \)\( x^{3} \)  + \( \frac{28}{9} \)x

Ich habe das raus bin mir aber nicht sicher ob es stimmt!!

Comments

Er schneidet die x-Achse bei

Bei was? Offenbar bei x= 2

hat in ein lokales Maximum.

Wo?

Wie kommst du auf f(1) = 2 ??

f(x) = 0 macht keinen Sinn.

Wie lautet die Aufgabe wirklich?

Ich sehe kein f '(x)  trotz der Angabe MAXIMUM.

Erstaunlich wie du auf dein Ergebnis kommst.

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srzy, hab vergessen die Punkte einzugeben

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Dann hole es bitte nach.

Answer 1

Halo Samira,

Deine Lösung ist korrekt!

https://www.desmos.com/calculator/ftenfpwvul

$$f\left(x\right)=\frac{1}{9}\left(x^{5}-11x^{3}+28x\right)$$Falls Du selbst überprüfen möchtest, ob sie stimmt, so lasse Dir die Funktion plotten. Entweder mit Deinem GTR oder hier mit dem Plotlux hier aus der Mathelounge

~plot~ (x^5-11x^3+28x)/9;{1|2};{2|0} ~plot~

oder mit Desmos. Wenn Du dann noch die gegebenen Punkte einzeichenn lässt, so siehst Du dann schon, ob es passt.

Hinweis: wenn man unten rechts im Bild oben auf das Desmos-Symbol klickt, öffnet sich die Desmos Web-Seite.

Gruß Werner

Answer 2

Der Ansatz müsste f(x)= a\( x^{5} \)+ d\( x^{3} \) + ex heißen. Der Aufgabentext ist unvollständig.

Answer 3

Deine Lösung ist völlig richtig. Ich empfehle zur Hilfe und Selbstkontrolle: https://www.arndt-bruenner.de/mathe/scripts/steckbrief.htm

Eigenschaften

f(0) = 0
f''(0) = 0
f''''(0) = 0 → Die ersten drei Eigenschaften gibt man so für die Punktsymmetrie ein

f(2) = 0
f(1) = 2
f'(1) = 0 → Das sind die drei Bedingungen, die du auch genutzt hast

Gleichungssystem

f = 0
2d = 0
24b = 0 → Auch hier sind die ersten drei Gleichungen für die Punktsymmetrie

32a + 16b + 8c + 4d + 2e + f = 0
a + b + c + d + e + f = 2
5a + 4b + 3c + 2d + e = 0 → Hier setzt du zunächst b = d = f = 0 aus der Punktsymmetrie ein und kannst das Gleichungssystem dann lösen.

Errechnete Funktion

f(x) = 1/9·x^5 - 11/9·x^3 + 28/9·x → Die Seite liefert eine automatische Kontroll-Lösung