Differenzierbarkeit mit Parameter

Question

6. Differenzierbarkeit: Prüfen Sie, für welche Werte des reellen Parameters \( a \) die Funktion
\( f(x)=\left\{\begin{array}{lll} x^{2}, & \text { falls } & x \leq 1, \\ x^{2}+a(x-1)^{2}, & \text { falls } & x>1 \end{array}\right. \)
an der Stelle \( x=1 \) differenzierbar ist, und geben Sie ggf. den Wert der Ableitung an dieser Stelle an.

\( \begin{array}{l}\lim \limits_{x \rightarrow 1} \frac{x^{2}-1}{x-1}=\lim \limits_{x \rightarrow 1} \frac{(x-1)(x+1)}{x-1} \\ =\lim \limits_{x \rightarrow 1} x+1=2 \\ \lim \limits_{x \rightarrow 1} \frac{x^{2}+a(x-1)^{2}-1+a}{x-1} \\ =\lim \limits_{x \rightarrow 1} x^{2}+a(x-1)-1+a\end{array} \)

Guten Tag, leider bekomme ich den 2. Grenzwert nicht raus, kann mir da bitte jemand weiterhelfen?

Answer 1

Alpha: )

Den linksseitigen Grenzwert \(2\) des Differenzenquotienten für alle \(a\in\mathbb R\) hast du korrekt ermittelt. Beim rechtsseitigen Grenzwert bist du auf dem richtigen Weg, hast im Zähler aber einen Summanden \(a\) zu viel:

$$\phantom=\lim\limits_{x\searrow1}\frac{f(x)-f(1)}{x-1}=\lim\limits_{x\searrow1}\frac{x^2+a(x-1)^2-1}{x-1}=\lim\limits_{x\searrow1}\left(\frac{x^2-1}{x-1}+\frac{a(x-1)^2}{x-1}\right)$$$$=\lim\limits_{x\searrow1}\left((x+1)+a(x-1)\right)=2$$

Auch der rechtsseitige Grenzwert ist für alle \(a\in\mathbb R\) gleich \(2\).

Die Funktion ist also für alle \(a\in\mathbb R\) an der Stelle \(1\) mit \(f'(1)=2\) differenzierbar.

Comments

Perfekt danke :-) jetzt habe ich es, super

Answer 2

Die Funktion

        \(f_1(x) \coloneqq x^2\)

ist auf ganz \(\mathbb{R}\) differenzierbar laut Produktregel.

Die Funktion

        \(f_2(x) \coloneqq x^2 + a(x-1)^2\)

ist für jedes \(a\in \mathbb{R}\) auf ganz \(\mathbb{R}\) differenzierbar laut Produkt- Summen- und Faktorregel.

Eine Funktion ist bei \(x_0\) genau dann differenzierbar, wenn der Grenzwert des Differenzenquotienten für \(x\to x_0\) existiert.

Der Grenzwert existiert genau dann, wenn rechtssseitiger und linksseiter Grenzwert existieren und übereinstimmen.

Deshalb ist \(f\) genau dann differenzierbar, wenn \(f_1'(1) = f_2'(1)\) ist.

Comments

Ich muss die Aufgabe mit dem links und rechtsseitigen Grenzwert berechnen. Wie ich das bei x^2 gemacht habe.

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Genau und für x^2 habe ich den Grenzwert berechnet. Aber ich muss den noch für die 2. Funktion bestimmen

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Ich muss die Aufgabe mit dem links und rechtsseitigen Grenzwert berechnen.

Dann hast du nicht die vollständige Aufgabenstellung angegeben. Gib die vollständige Aufgabenstellung an.

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Das ist die komplette Aufgabenstellung. Wir rechnen aber immer mit rechts und linksseitigen Grenzwert

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Wir rechnen aber immer mit rechts und linksseitigen Grenzwert

Der rechtsseitige Grenzwert des Differenzenquotienten von \(f_2\) für \(x\to 1\) existiert, weil der Grenzwert des Differenzenquotienten von \(f_2\) für \(x\to 1\) existiert.

Der Grenzwert des Differenzenquotienten von \(f_2\) für \(x\to 1\) existiert laut Definition Differenzierbarkeit, weil \(f_2\) an der Stelle \(1\) differenzierbar ist.

\(f_2\) ist an der Stelle \(1\) differenzierbar aufgrund von Produkt-, Summen-, und Faktorregel. Ebenfalls laut diesen Regeln ist \(f_2'(1) = 2\)