Finde die Elementarmatrix, die das α-fache der j-ten Zeile auf die i-te Zeile addiert.

Question

Aufgabe:

Gegeben sei eine Matrix A ∈ K^m×n.
a) Finde die sogennante Elementarmatrizen Q_jⁱ (α) sodass,
(i) Q_jⁱ (α) · A    zur i-ten Zeile das α-fache der j-ten Zeile addiert, wobei i≠ j gilt.

Problem/Ansatz:

Kann man das so machen (siehe Bild)

Answer 1

Die Elementarmatrix, die du suchst, ist folgende:

$$Q_j^i(\alpha) = \begin{bmatrix} 1 &        &  &        &  &        &  \\   & \ddots &  &        &  &        &  \\   &        & 1 &        &  &        &  \\   &        &  & \ddots &  &        &  \\   &        & \alpha &        & 1 &        &  \\   &        &  &        &  & \ddots &  \\   &        &  &        &  &        & 1 \end{bmatrix},$$ wobei \(\alpha\) an der \((i,j)\)-Stelle steht. Kann man auch hier nachlesen:

https://en.wikipedia.org/wiki/Elementary_matrix#Row-addition_transformations

Comments

Also ist muss ich dass alpha links schreiben oder ist das egal?

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Siehe die Antwort von nudger.

Answer 2

Deine Matrix ist richtig.

Sei \(E_n\) die \(n\times n\)-Einheitsmatrix und \(E_{ij}\) die Matrix, die aus lauter Nullen

besteht, jedoch in der Position \((i,j)\) eine 1 hat, so ist

\(Q_j^i(\alpha)=E_n+\alpha E_{ij}\).

Answer 3

Deine Matrix ist genau die richtige. Du hast sie für den Fall \(j>i\) angegeben.

Bei Gauß-Operationen zur Transformation auf rechts-obere Dreiecksform ist aber \(j<i\) und dann steht das \(\alpha\) links von der 1 in der i-ten Zeile (so wie in der anderen Antwort). Jedenfalls hast Du es verstanden und das ist die Hauptsache.

Comments

okay danke, war mir nicht mehr sicher, mein Kopf raucht langsam nach 7h Höheremathe lernen

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Bei Gauß-Operationen ist aber \(j<i\)

Wenn man die Gauss-Operationen bis zur reduzierten
Treppennormalform weitertreibt, treten auch Elementarmatrizen
mit \(i<j\) auf.

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Stimmt, war ungenau formuliert, ist korrigiert.