Kann man diese Summe so oder vielleicht sogar noch weiter vereinfachen?

Question

Aufgabe:

Vereinfachen Sie die Summe:

∑((-1)^(k-1))*k von k=1 bis 2n

Problem/Ansatz:

Im Prinzip gilt ja 1*k für alle ungeraden k∈ℕ und (-1)*k für alle geraden k∈ℕ. Ich habe darum wie folgt vereinfacht:

(∑2k-1 von k=1 bis n) +(∑-2k von k=1 bis n).

Kann man das so formulieren? Oder kann man das noch weiter vereinfachen? Ich hatte überlegt, dass man die Summen ja auch eigentlich zusammen fassen kann, weil untere und obere Grenze übereinstimmen, bloß 2k—1-2k=-1 und das kommt mir komisch vor?

Entschuldigt die Schreibweise - ich habe gerade nicht verstanden wie es schöner geht, hoffentlich ist alles verständlich. Und danke im Voraus für jede Antwort!

Liebe Grüße

Emi :)

Answer 1

Hallo,

für k=1 ist (-1)^{k-1}•k=(-1)^0•1=1.

Für k=2 ist (-1)^{k-1}•k=(-1)^1•2=-2.

Für k=3 ist (-1)^{k-1}•k=(-1)^0•3=3.

Für k=4 ist (-1)^{k-1}•k=(-1)^1•4=-4.

Es wird summiert:

1+(-2)+3+(-4)+...=(-1)+(-1)+...

Immer zwei aufeinander folgende Summanden ergeben -1.

Da es 2n Summanden sind, ergibt die Summe -n.

:-)

Comments

Faktor k übersehen?

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Faktor k übersehen?

Ja....

Ich hoffe, dass es jetzt stimmt.

:-)

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Hallo, dass ist einleuchtend, also danke schon mal! Ich habe momentan noch ein wenig Probleme damit Summen aufzuschreiben und wollte nur noch einmal kurz fragen, ob die Schreibweise in meinem Ansatz richtig ist, also äquivalent zur Summe in der Aufgabe? :)

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Das kannst du selber überprüfen, indem du ein paar Zahlen einsetzt.

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Hallo Emilia,

$$\sum_{k=1}^n(2k-1)+\sum_{k=1}^n(-2k)$$

Unter ein Summenzeichen geschrieben:

$$\sum_{k=1}^n(2k-1-2k)$$

Zusammenfassen:

$$\sum_{k=1}^n(-1)=-n$$

Stimmt also.

:-)

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Okay, vielen Dank!!!!  :)))