Aloha :)
Zur Bestimmung des Definitionsbereichs der Funktion$$g(x)=\frac{\sqrt{x+2}-2\sqrt{x-2}}{4\sqrt{x+2}}$$erinnern wir uns an folgende Regeln:
(1) Division durch Null ist verboten \(\implies \pink{x\ne-2}\)
(2) Das Argument unter der Wurzelfunktion muss \(\ge0\) sein:$$x+2\ge0\implies \pink{x\ge-2}\quad;\quad x-2\ge0\implies \pink{x\ge2}$$Wir erhalten die 3 pinken Verbote, die alle erfüllt sein müssen. Das ist genau dann der Fall, wenn \(x\ge2\) gilt. Damit haben wir den Definitionsbereich gefunden:$$\mathbb D=[2;\infty)$$
Zur Berstimmung der Grenzwerte formen wir den Funktionsterm etwas um:$$g(x)=\frac{\sqrt{x+2}-2\sqrt{x-2}}{4\sqrt{x+2}}=\frac{\sqrt{x+2}}{4\sqrt{x+2}}-\frac{2\sqrt{x-2}}{4\sqrt{x+2}}=\frac14-\frac12\cdot\sqrt{\frac{x\pink{-2}}{x+2}}$$$$\phantom{g(x)}=\frac14-\frac12\cdot\sqrt{\frac{(x\pink{+2})\pink{-4}}{x+2}}=\frac14-\frac12\cdot\sqrt{\frac{x+2}{x+2}-\frac{4}{x+2}}=\frac14-\frac12\cdot\sqrt{1-\frac{4}{x+2}}$$
Damit erhalten wir die Grenzwerte:$$\lim\limits_{x\to-2}g(x)=\text{nicht definiert, da \(x\ge2\) gelten muss}$$$$\lim\limits_{x\searrow2}g(x)=\frac14-\frac12\cdot\sqrt{1-\frac{4}{\pink2+2}}=\frac14$$$$\lim\limits_{x\to\infty}g(x)=\lim\limits_{x\to\infty}\left(\frac14-\frac12\cdot\sqrt{1-\frac{4}{x+2}}\right)=\frac14-\frac12\cdot\sqrt{1-0}=\frac14-\frac12=-\frac14$$
