Beweisen Sie die folgende Identität (Menge)

Question

Bei folgender Aufgabe bin ich soweit gekommen. Leider komme ich aber nicht ganz auf das Ergebnis. In einem Diagramm sollte aber tatsächlich die leere Menge rauskommen, bei mir aber kommt die Vereinigung von B und A raus. Kann mir jemand helfen?

Beweisen Sie die folgende Identität: A \ (A ∩ B^c) ∪ B = ∅

x ∈ A \ (A ∩ B^c) ∪ B

⇔ x ∈ A ∧ x ∈ (A ∩ B^c) ∨ x ∈ B

⇔ x ∈ A ∧ (x ∉ A ∨ x ∉ B^c ) ∨ x ∈ B

⇔ (x ∈ A ∧ x ∉ A) ∨ (x ∈ A ∧ x ∉ B^c ) ∨ x ∈ B

⇔ (x ∈ A ∧ x ∉ A) ∨ (x ∈ B ∨ x ∈ A ) ∧ (x ∈ B ∨ x ∉ B^c )

⇔ x ∈ A \ A ∨ x ∈ B ∪ A ∧ x ∈ B ∪ B^c

Comments

Da fehlen sicherlich Klammern (auch in Deiner Rechnung).

Denn: \(B\subseteq A\setminus (A\cap B^c) \cup B=\emptyset\), aber \(B\) ist sicherlich allgemein nicht leer.

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Hättest du vielleicht Lust meine Rechnung zu kopieren und mir in Rot wieder zugeben wo ich die Klammern hin zu tun hätte? Vielleicht komme ich dann auf die Richtige Lösung.

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Eine Lösung überhaupt zu versuchen geschweige denn eine bestehende zu korrigieren hat doch erst Sinn, wenn die Aufgabe klar ist. Danach(!) geht's los.

Poste mal die Aufgabe im Original (Foto).

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Aso entschuldige leider habe ich diese Aufgabe schon vor langer Zeit gestellt bekommen und kann mich leider nicht mehr genau an die Richtige Aufgabenstellung erinnern. (Das war alles was ich noch so etwa im Kopf davon hatte). Ist nicht schlimm ich versuch es selber noch paar mal, vielleicht fällt sie mir dann wieder ein.

Answer 1

Wenn man es als \(A\setminus [(A\cap B^c) \cup B)]\) liest, haut es hin.

Der Übersicht halber: Bleib bei der Mengenschreibweise (Übersicht verringert auch die Gefahr Klammern zu vergessen).

Also, es fängt so an:

\(A\setminus [(A\cap B^c) \cup B)] = A\cap [(A\cap B^c) \cup B)]^c\).

Nun deMorgan und Distributivgesetz und in wenigen Schritten ist man am Ziel.

Comments

Ah danke ich versuche es gleich nochmal

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Würde folgende Schreibweise eig. auch gehen?
A ∩ [(A ∩ B^c) ∪ B]^c= A ∩ [(A ∩ B^c)^c ∩ B^c]= A ∩ [(A^c ∪ B) ∩ B^c]= A ∩ A^c ∪ B ∩ B^c= ∅ ∪ ∅

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Nach dem dritten = fehlen Klammern...

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(A ∩ A^c ) ∪ (B ∩ B^c ) so?

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Nein, nicht raten, sondern in kleinen Schritten vorgehen. Erst die runden Klammern auflösen.

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Oh man da hast du mich erwischt, aber jetzt bin ich dem ganzen so nah wie noch nie, pass auf:
A ∩ [(A^c ∪ B) ∩ B^c] = A ∩ [A^c ∪ (B ∩ B^c)] = A ∩ [A^c ∪ ∅] = (A ∩ A^c) = ∅

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Du bist schon nah dran, aber jetzt nicht näher dran gekommen: die Regel, die Du angewandt hast, gibt es nicht. Wenn Du schnell fertig werden willst , mach jeden Schritt langsam und sorgfältig.

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Das hat zwar nichts mit der Lösung zutun aber, mich würde es interessieren wie dieses Thema in der Mathematik heißt, und wo sowas dran kommt, da ist ja nicht mal eine Zahl??

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@Maxi3332 Mengenlehre. Oder wegen äquivalenter Aufgabenstellungen: Aussagenlogik). Übrigens: Mathematik ist nicht Rechnen und hat mit Zahlen nicht viel zu tun, da geht es um Strukturen.
Solche Aufgabenstellungen spielen z.B. in Design und Optimierung von Schaltungen und Netzwerken eine Rolle.

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A ∩ [(A^c ∪ B) ∩ B^c] = A ∩ [(A^c ∩ B^c) ∪ (B ∩ B^c)] = A ∩ [(A^c ∩ B^c) ∪ ∅] = A ∩ (A^c ∩ B^c) = (A ∩ A^c) ∩ B^c = ∅ ∩ B^c = ∅

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Sehr schön, geht doch. Du hast hoffentlich gemerkt, wenn man langsam und sorgfältig vorgeht, ist man am Ende doch schneller als mit mehreren unsorgfältigen Anläufen.

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Danke dir, du hast recht! Sollte manchmal wirklich mehr Zeit in sowas investieren.