Skalares Feld - Aufgabenverständnis des Gradienten und der Richtungsableitung

Question

Hallo Leute,

eine weitere Aufgabe, die mich sehr beschäftigt lautet:

Text erkannt:

9 Skalares Feld (6 Punkte)
Ein Berg habe das Höhenprofil
\( h(x, y)=\frac{2+y \mathrm{e}^{-y^{2}}}{1+\mathrm{e}^{x}} . \)
Berechnen Sie die Steigung des Berges am Ort \( \left(\begin{array}{l}0 \\ 0\end{array}\right) \) in Richtung \( \left(\begin{array}{c}4 \\ -3\end{array}\right) \). Geben Sie den Steigungswinkel an!

...und...

Text erkannt:

gegeben. In welche Richtung(en) müssen Sie am Ort \( (x, y)=(0,0) \) gehen, damit die Temperatur (beim ersten, infinitesimalen Schritt) gleich bleibt?

Meine Frage an euch:

Das ich bei dieser Aufgabe den Gradienten berechnen muss, ist mir klar und das ich anschließend den Ort dort einsetzten muss, um die Steigung zu bestimmen, auch. Auch die Richtungsableitung sollte ich eigentlich hinbekommen haben, dazu musste ich nur die Richtung normieren und mit der Steigung am Ort (0;0) skalar multiplizieren. Als Ergebnis habe ich $$ -\frac{7}{10} $$. Mein erstes Problem ist, dass ich den Steigungswinkel mit dem arctan bestimmen kann. Mit arctan habe ich ein Ergebnis von ca. 35°. Mir ist aber eingefallen, dass laut Definition die Richtungsableitung eine skalare Multiplikation mit dem Gradenten ist und ich den Winkel mit dem arccos eventuell ermitteln kann. Ist dies möglich? Ich bekomme immer unterschiedliche Winkel raus oder mache ich etwas falsch?

Mein zweites Problem ist, dass ich die zweite Frage (In welche Richtung(en) müssen Sie am Ort \( (x, y)=(0,0) \) gehen, damit die Temperatur (beim ersten, infinitesimalen Schritt) gleich bleibt?) nicht verstehe und nicht weiß, was ich tun soll.

Answer 1

Aloha :)

Als Gradient der Funktion \(f(x)\) an der Stelle \((0|0)\) erhalte ich \((-\frac12\big|\frac12)\).

Die Steigung der Funktion \(f(x)\) an der Stelle \((0|0)\) in Richtung von \(\binom{4}{-3}\) ist das Skalarprodukt aus dem Gradienten und den normierten Vektor \(\frac15\binom{4}{-3}\), also$$\frac15\binom{-1/2}{1/2}\binom{4}{-3}=\frac15\left(-2-\frac32\right)=\frac15\cdot\left(-\frac72\right)=-\frac{7}{10}$$

Zur Berechnung des Steigungswinkels brauchst du die Arcustangens-Funktion:$$\varphi=\arctan\left(-\frac{7}{10}\right)\approx-34,99^\circ\approx-35^\circ$$

Wenn du die Cosinus-Funktion verwendest, bestimmst du den Winkel zwischen dem Gradieten und dem Richtungsvektor. Gesucht ist jedoch der Steigungswinkel relativ zur xy-Ebene.

Damit sich die Temperatur beim ersten infinitesimalen Schritt nicht ändert, muss man senkrecht zum Gradienten gehen, also in Richtung des Vektors \(\binom{\frac12}{\frac12}\) oder \(\binom{-\frac12}{-\frac12}\).

Comments

Super danke für deine Hilfe ich habe es jetzt verstanden.