Aloha :)
Die Funktion \(f(x)\) können wir umschreiben$$f(x)=\ln(3-2x)=\ln(3-2(x-1)-2)=\ln(1-2(x-1))$$
Diese Funktion soll um \((x_0=1)\) herum entwickelt werden.
Wir setzen daher \((\pink{x=1+y})\) und entwickeln stattdessen die Funktion$$g(y)=\ln(1-2(\pink{1+y}-1))=\ln(1-2y)$$um den Nullpunkt herum. Dazu stellen wir ihre Ableitung als geometrische Reihe dar$$g'(y)=\frac{-2}{1-2y}=-2\sum\limits_{n=0}^\infty(2y)^n=-\sum\limits_{n=0}^\infty 2^{n+1}\cdot y^n$$
Diese Darstellung existiert, wenn die geometrische Reihe konvergiert, also für \(|2y|<1\).
Integration führt auf die gesuchte Potenzreihe:$$g(y)=C-\sum\limits_{n=0}^\infty2^{n+1}\cdot\frac{y^{n+1}}{n+1}=C-\sum\limits_{n=1}^\infty\frac{2^n}{n}\,y^n$$
Die Integrationskonstante \(C=g(0)=\ln(1)=0\) verschwindet und mit der Rücksubstitution \((\pink{y=x-1})\) erhalten wir die gesuchte Potenzreihe:$$f(x)=-\sum\limits_{n=1}^\infty\frac{2^n}{n}(x-1)^{n}$$
Diese Reihendarstellung ist gültig für \(|2y|<1\) bzw. für \(|x-1|<\frac12\).
Ihr Konvergenzradius ist daher \(\frac12\) und die gültigen Argumente sind \(\frac12<x<\frac32\).
