Lineare Algebra Grundwissen

Question

Aufgabe:

Erkläre in eigenen Worten, warum die Lösungsmenge bei einem Gleichungssystem bei den elementaren Umformungen Typ III (Additionsverfahren) gleich bleibt.

Problem/Ansatz:

Hallo,
meine Frage ist: Warum ist die Lösungsmenge eines linearen Gleichungssystems beim Additionaverfahren gleich. Eine Erklärung mit eventuell noch einem Beispiel, wäre sehe hilfreich. Ich bedanke mich im
voraus.
Gruss, E.T.K.

Answer 1

Du multiplizierst die
1.Gleichung mit dem Koeffizienten von x der 2.Gleichung
und die
2.Gleichung mit dem Koeffizienten von x der 1.Gleichung
Dann sind die Koeffizienten gleich und du kannst das
Additionsverfahren anwenden.

4 * x + 7 * y = 12
3 * x + 6 * y = 1

4 * x + 7 * y = 12  | * 3
3 * x + 6 * y = 1  | * 4

12 * x + 21 * y = 36
12 * x + 24 * y = 4 | abziehen
--------------------------
21y - 24y = 32

Answer 2

Gegeben sind zwei Gleichungen:

        \(\begin{aligned}a&=b\\c&=d\end{aligned}\)

Addition einer Zahl ist eine Äquivalenzumformung. Das heißt addiert man zu beiden Seiten einer Gleichung die gleiche Zahl, dann ändert sich dadurch die Lösungsmenge der Gleichung nicht. Deshalb ist die Lösungsmenge der ersten Gleichung des obigen Gleichungssystems die gleiche wie die Lösungsmenge der ersten Gleichung des Gleichungssystems

  \(\begin{aligned}a+c&=b+c\\c&=d\end{aligned}\)

Weil laut der zweiten Gleichung die Zahl \(d\) die gleiche ist wie die Zahl \(c\), darf die Zahl \(d\) überall dort verwendet werden, wo die Zahl \(c\) verwendet wird. Deshalb darf auf der rechten Seite der ersten Gleichung des obigen Gleichungssystems das \(c\) durch \(d\) ersetzt werden und die Lösungsmenge der ersten Gleichung des obigen Gleichungssystems die gleiche wie die Lösungsmenge der ersten Gleichung des Gleichungssystems

  \(\begin{aligned}a+c&=b+d\\c&=d\end{aligned}\)

Answer 3

Vielleicht hat wer anders eine bessere Beschreibung aber, dass Additionsverfahren ist ja derart, dass du z.B. zwei Gleichungen vorliegen hast. Diese Gleichungen sind (hoffentlich) lösbar. Dann addierst du ja die linke Seite der ersten Gleichung mit der Linken Seite der zweiten Gleichung und die rechte Seite der ersten Gleichung mit der rechten Seite der zweiten Gleichung. Ergo addierst du auf beiden Seiten den Gleichen Wert. Wenn man aber auf beiden Seiten einer Gleichung den selben Wert addiert, ändert sich damit nicht die Lösung der zweiten Gleichung und da die erste Gleichung unverändert bleibt auch nicht die Lösungsmenge.

Answer 4

Mit Gleichungen kannst du alles machen, solange du es nur auf beiden Seiten tust.

Sie sind wie eine Waage, die im Gleichgewicht bleibt, wenn auf beiden Seiten dasselbe hinzufügt oder wegnimmt.

vgl.

Wenn du die abc-Formel in die pq-Formel verwandelst, ändert sich nichts am Ergebnis bei der Suche nach den Nullstellen.

5x+8y= 34

2x+4y= 16|*2

4x+8y= 32

------------

subtrahieren:

x = 2

einsetzen:

10+8y= 34

8y= 24

y= 3