bestimmen Sie eine Matrix P , so dass P^{-1} A P eine Diagonalmatrix D ist.

Question

Aufgabe Die darstellende Matrix \( A \) der linearen Abbildung \( T_{A} \) ist bezüglich der Standardbasis gegeben durch
\( A=\left(\begin{array}{ccc} -2 & -2 & 1 \\ 2 & 3 & -2 \\ 0 & 0 & -1 \end{array}\right) \)
(i)  Berechnen Sie für die lineare Abbildung \( T_{A} \) alle Eigenwerte und die zugehörigen Eigenvektoren.
(ii)  Ist \( T_{A} \) diagonalisierbar? Wenn Ja, diagonalisieren Sie dann die Matrix \( A \), d.h. bestimmen Sie eine Matrix \( P \), so dass \( P^{-1} A P \) eine Diagonalmatrix \( D \) ist. Berechnen sie hierfür tatsächlich \( P^{-1} A P \).

Answer 1

Fang mal so an:

det(A-x*E)=-(x+1)^2*(x-2), also Eigenwerte -1 und 2.

Eigenvektoren zu -1 sind alle von der Form

\(  \begin{pmatrix} x\\y\\x+2y \end{pmatrix}=  \begin{pmatrix} x\\0\\x \end{pmatrix} \)+\(  \begin{pmatrix} 0\\0\\2y \end{pmatrix} \)

also eine Basis zum Eigenraum für -1 ist  \(  \begin{pmatrix} 1\\0\\1 \end{pmatrix},   \begin{pmatrix} 0\\1\\2 \end{pmatrix}\)

und für 2 ist es z.B.  \(  \begin{pmatrix} x\\-2x\\0 \end{pmatrix} \), also bildet

etwa \(  \begin{pmatrix} 1\\-2\\0 \end{pmatrix} \) eine Basis des Eigenraums.

Somit gibt es für ℝ³ eine Basis von Eigenvektoren,

also \( T_{A} \) diagonalisierbar mit

\(  P= \begin{pmatrix} 1&0&1\\0&1&-2\\1&2&0 \end{pmatrix} \)