Integral und Flächeninhalt

Question

Text erkannt:

Fig. 2
Fig. 3
Fig. 4

Aufgabe:

Also ich muss diese Aufgabe berechnen. Ich habe schon die a und die ist richtig. Nur bei den anderen kam ich nicht weiter, da ich immer komme.

kann bitte jemand nur zu der b eine ausführliche Erklärung geben, sodass ich dann die c und d selbst erledigen kann?

Answer 1

Berechnet man Flächen, müssen die Flächen oberhalb und unterhalb der x-Achse über das Integral getrennt berechnet werden und die negativ gerichteten Flächeninhalte unterhalb der x-Achse vom Betrag her zu den positiven addiert werden.

Das Integral selber berechnet ansonsten die Flächenbilanz. Flächen oberhalb der x-Achse minus die Flächeninhalte unterhalb der x-Achse.

Ich denke mal, das geht in den Aufgaben um Flächeninhalte.

Hier nur Kontrollergebnisse, damit du weißt, ob du richtig liegst. Solltest du etwas anderes heraus haben, kann ich mich auch vertan haben. Dann frag bitte nochmals nach und nenne am besten dein Ergebnis mit Rechnung.

a) A = 2 FE

b) A = 8/3 FE

c) A = 16/3 FE

d) A = 25/12 FE

Comments

ich habe alles vorgerechnet und richtig gehabt außer bei c:

1. f(x) - g(x) um die Fläche zwischen der zwei Funktionen berechnen zu können

2. h(x)= -x² +4

3. H(x)= - \( \frac{1}{3} \)x³ +4x

4. \( \int\limits_{0}^{1} (-x²+4) d x \)

5. [ -\( \frac{1}{3} \)x³ + 4x ] ₀¹

6. F (1)= \( \frac{11}{3} \) , F(0)= 0

7. F(1) - F(1)= \( \frac{11}{3} \)

Das habe ich raus

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Wieso ist die Funktion "+4"?

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Ich habe raus:

1. Fläche oberhalb der x-Achse, von 0 bis 1: 2/3

2. Fläche unterhalb der x-Achse von 1 bis 2: 4/3

3. Rechteck unterhalb der x-Achse von 0 bis 1: 3

Summe: 2/3 + 4/3 + 9/3 = 15/3 = 5

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Die Antwort vom Coach ist richtig.

Du musst das Integral von 0 bis 2 berechnen.

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Stimmt, ich sehe meinen Fehler.

16/3 ist richtig.

Ich verschiebe die Parabel um 3 nach oben und integriere von 0 bis 2:

$$\int \limits_{0}^{2}(-x^2+4)dx = \left[-1/3 x^3+4x\right]_{0}^{2} =16/3$$

Answer 2

Hallo,

falls du den Flächeninhalt der markierten Flächen berechnen sollst:

Schreibe die Funktion in Normalform, bilde die Stammfunktion und berechne dann die Integrale von 0 bis 1 und von 1 bis 3.

\(f(x)=-(x-2)^2+1=-x^2+4x-3\\ F(x)=-\frac{1}{3}x^3+2x^2-3x\\ F(0)=0\\ F(1)=-\frac{4}{3}\\ F(3)=0\\ \int \limits_{0}^{1}=F(1)-F(0)=-\frac{4}{3}\\ \int \limits_{1}^{3}=F(3)-F(1)=\frac{4}{3}\)

Der Flächeninhalt beträgt also \(2\cdot \frac{4}{3}=\frac{8}{3}\)

Gruß, Silvia

Comments

aber eine Frage: müsste man dann nicht -4/3 + 4/3 rechnen?

weil da habe ich immer Fehler

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Du musst die Beträge der gerichteten Flächeninhalte addieren.

| - 4/3 | + | 4/3 | = 8/3 FE

Ansonsten wäre doch - 4/3 + 4/3 = 0 FE und du wirst sicher bemerken, dass die gesamte markierte Fläche ja nicht 0 FE sein kann, weil wir sehen ja eine Fläche.

FE steht übrigens für Flächeneinheiten.