Wie funktionieren die Koeffizienten bei einer Parabel in Normalform?

Question

Bei einem Polynom zweiten Grades in Scheitelpunktform kann man sich ja leicht erklären, wie die einzelnen Koeffizienten den Graph der Funktion beeinflussen. In Normalform fällt mir das jedoch nicht so leicht. Bei einer Funktion f mit

f(x) = ax² + bx + c

verändert c auch wieder nur den Funktionswert konstant, jedoch a und b zu verstehen scheint etwas komplizierter.

a staucht bzw. streckt weiterhin den Funktionsgraphen, jedoch verschiebt sich der Scheitelpunkt der Parabel dabei, wenn b ≠ 0.

b verschiebt die Parabel unterhalb der x-Achse, jedoch nicht nur in eine Richtung sondern entlang der umgekehrten Parabel.

Warum das so ist kann ich mir leider kaum bildlich erklären. Klar kann ich aus der Scheitelpunktform in die Normalform ausmultiplizieren und sehe wie die Koeffizienten nun wirken, wirklich verstanden hab ich es trotzdem nicht. Also falls jemand eine verständliche Erklärung dafür hat, würde ich mich freuen. :)

Comments

https://de.serlo.org/mathe/50040/zusammenhang-zwischen-den-koeffizienten-einer-quadratischen-funktion-in-der-allgemeinen-form-und-der-zugeh%C3%B6rigen-parabel

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Danach gesucht hab ich schon. Die Website sagt mir auch nur was ich schon weiß, erklärt halt aber nicht warum sich jetzt beim verändern von b die Parabel parabelförmig verschiebt.

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https://www.desmos.com/calculator/0jxuutqoju

Durch vertikales Verschieben der grauen Punkte kann man die Parameter \(a\), \(b\) und \(c\) verändern. \(F\) ist der Brennpunkt der Parabel.

Answer 1

Um den Zusammenhang zwischen den Koeffizienten und den genauen Eigenschaften der Parabel zu verstehen, muss man sich halt so ein wenig mit Umformungen der Funktionsgleichung befassen.

c und a lassen sich ganz einfach begreifen, aber für die Bedeutung von b muss man sich ein bisschen bemühen.

Man kann z.B. sagen, dass b der Steigung der Tangente entspricht, welche die Parabel in deren Schnittpunkt mit der y-Achse berührt.

Comments

Man kann das auch so sehen: Die Gerade \(y=bx+c\) ist die Tangente an die Parabel an der Stelle \(x=0\), also im Berührpunkt \(\left(0\:\vert\: b\right)\). Lässt man beide in ein gemeinsames Koordinatensystem zeichnen und steuert den Parameter \(b\) über einen Schieberegler, sieht man, wie er wirkt.

Viele GTRs, GeoGebra, Desmos usw. können das.

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Klar.

Ich wollte nur die genaue Bedeutung des Parameters b allein beschreiben.