Bestimmen Sie einen Maßraum (ℝ, \mathcal{A}, \mu) und eine monoton fallende Folge (E_{j})_{j ∈ ℕ} \subseteq …

Question

Aufgabe:

Text erkannt:

Bestimmen Sie einen Maßraum \( (\mathbb{R}, \mathcal{A}, \mu) \) und eine monoton fallende Folge \( \left(E_{j}\right)_{j \in \mathbb{N}} \subseteq \mathcal{A} \) mit
\( \mu\left(\bigcap_{j \in \mathbb{N}} E_{j}\right)<\lim \limits_{j \rightarrow \infty} \mu\left(E_{j}\right) . \)

Welche Werte \( \operatorname{kann} \lim \limits_{j \rightarrow \infty} \mu\left(E_{j}\right) \) in einem solchen Fall annehmen?

Problem/Ansatz:

Ich komme nicht so recht weiter und weiß nicht wo ich anfangen soll. Damit (R,A,myu) ein Maßraum ist, muss R ungleicjh leere Menge sein, das stimmt. A muss eine Sigma Algebra sein und myu ein Maß. Allerdings finde ich keine geeigneten Sachen für die 3. Und an bei der Folge stehe ich auch auf dem Schlauch

Answer 1

Du weisst ja, dass dieses Theorem eigentlich gilt, insofern eine der Mengen \(E_j\) (und damit all folgenden) endliches Mass hat. Also müssen alle beteiligen Mengen unendliches Mass haben.

Als Beispiel kannst du also einfach die Borelmengen auf \( \mathbf{R} \) ausgestattet mit dem Lebesgue-Mass betrachten, also \( ( \mathbf{R}, \mathcal{B}( \mathbf{R}), \lambda )  \). Dann setzten wir z.B. \( E_{ j}  := ( -\infty , -j) \)
und es gilt
\(\begin{aligned} \lambda \biggl( \bigcap_{ j\geqslant 1}^{ } E_{ j} \biggr) = \lambda ( \varnothing ) = 0 \neq +\infty =  \lim_{j \to\infty} \lambda( E_{ j} ) \end{aligned}\)

Comments

Zum Verständnis: Könnte man auch das Dirac Maß nehmen?