Menge aller natürlichen Zahlen n bestimmen für die Aussage wahr sind

Question

Aufgabe:

$$\text{Bestimmen Sie jeweils die Menge aller natürlichen Zahlen n, für welche die folgenden Aussagen wahr sind:}\\\text{(i) }\exists a,b \in \mathbb{N}:((n=2a)\land(n=2b+1))\\\text{(ii) }\lnot(\exists x \in \mathbb{Z}:x^n =nx)\\\text{(iii) }\lnot(\exists m\in \mathbb{N}: \frac{m}{2}+n \in \mathbb{N})\\\text{(iv) }((n+1)! \leq 20) \lor(5 \leq2n\leq10)\\\text{(v) } \lnot(((n \text{ ist Quadratzahl}) \land(\text{n ist gerade}))\rightarrow n \geq17)$$

Folgende Ansätze habe ich:

$$\text{Zu (i): Hier finde ich einfach kein a und b sodass beide = n sind. Ich bin mir ziemlich sicher, dass }\\ \text{ich da falsch liege :D}\\\text{Zu (ii): Da habe ich mir gedacht, dass wohl bei }\exists x \in \mathbb{Z}:x^n =nx \text{ nur n = 1 gilt, oder?}\\\text{Und durch die Negation gelten dann eben alle }n \in \mathbb{N} /\ \{1\} \text{ oder liege ich da falsch?}\\\text{Zu (iii): Leider keine Idee}\\\text{Zu (iv): Da habe ich }\{0,1,2,3,4,5\}\\\text{Zu (v): Da sind es ja ohne Negation }\{17,18,19,...\} \text{ und mit Negation dann } \{1,2,3,...,16\} \text{ oder nicht?}$$

Ich würde mich sehr freuen, wenn mir jemand dort auf die Sprünge helfen könnte :)

Answer 1

Zu (i) : Klar erkannt. Die gesuchte Menge ist die leere Menge.

(zu (ii) : \(    \text{(ii) }\exists x \in \mathbb{Z}:x^n =nx\)

        gilt doch für alle n>0; denn 0^n = n*0 .

      Nur für n=0 hat man ja immer n^0=1 und 0^0 nicht def.

    Mit der Negation bleibt nur die 0, wenn die bei euch zu

             ℕ gehört. Das ist ja nicht überall gleich.

zu (iii) zu jedem n könnte man z.B. m=2nehmen.

Damit gilt \(\exists m\in \mathbb{N}: \frac{m}{2}+n \in \mathbb{N}\)

Mit der Negation also wieder {}.

(iv) ✓

(v) ohne Negation gilt es doch auch für 1,2,3,5,6,7,8,10,11,12,13,14,15

denn : falsche Praemisse bedeutet doch: Implikation ist wahr.

Comments

Oh, dachte einfach nur ich habe einen Denkfehler, dankeschön :)

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Hab noch was ergänzt.

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Erstmal danke für die Ergänzung.

(ii) Bei uns gehört die 0 nicht zu den natürlichen Zahlen außer wir definieren N_0. Ansonsten fangen wir bei 1 an. Beudetet das hier ist es schon wieder die leere Menge?

(v) Also verstehe ich das hier richtig, ohne Negation gelten alle Zahlen außer 4 und 9. Mit Negation sind es dann genau 4 und 9? Falls ja, hab ich es verstanden.

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Ja, so meinte ich das.

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Alles klar, vielen lieben Dank :)