f ist genau dann injektiv , wenn es eine Funktion g : Y → X gibt, so dass g(f(x)) = x für alle x ∈ X gilt.
"==>" f ist injektiv. Da X≠∅ gibt es a∈X.
==> Definiere g : Y → X mit
g(y) = x falls y∈f(X) und f(x)=y
und g(y)=a, falls y∉f(X).
Das ist wohldefiniert, da durch y∈f(X) und y∉f(X) für jedes y∈Y
ein Bild definiert ist und es wegen der Injektivität niemals
mehrere x gibt mit f(x)=y.
Sei nun x∈X. Dann gilt f(x)∈f(X), also g(f(x)) = x .
Umgekehrt: es gibt eine Funktion g : Y → X , so
dass g(f(x)) = x für alle x ∈ X gilt.
Da zeigst du leicht, dass bei der Annahme f sei nicht injektiv
ein Widerspruch entsteht.