Funktion, Menge, injektiv

Question

Aufgabe:

Seien X, Y nichtleere Mengen, f : X → Y eine Funktion. Zeigen Sie, dass f genau dann injektiv ist, wenn es eine Funktion g : Y → X gibt, so dass g(f(x)) = x für alle x ∈ X gilt.

Answer 1

f ist genau dann injektiv , wenn es eine Funktion g : Y → X gibt, so dass g(f(x)) = x für alle x ∈ X gilt.

"==>" f ist injektiv. Da X≠∅ gibt es a∈X.

     ==>  Definiere   g : Y → X mit

                         g(y) = x falls y∈f(X) und f(x)=y

                        und g(y)=a, falls y∉f(X).

Das ist wohldefiniert, da durch y∈f(X)  und y∉f(X) für jedes y∈Y

ein Bild definiert ist und es wegen der Injektivität niemals

mehrere x gibt mit f(x)=y.

Sei nun x∈X. Dann gilt f(x)∈f(X), also g(f(x)) = x .

Umgekehrt:  es gibt eine Funktion g : Y → X , so
                  dass g(f(x)) = x für alle x ∈ X gilt.

Da zeigst du leicht, dass bei der Annahme f sei nicht injektiv

ein Widerspruch entsteht.