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Aufgabe:

An einem zufälligen Tag ist Ana mit Wahrscheinlichkeit 7% krank und Benjamin mit Wahrscheinlichkeit 5%. Da beide Geschwister sind, passiert das nicht notwendigerweise unabhängig voneinander. Außerdem sind mit 96%-iger Wahrscheinlichkeit, entweder beide gesund oder beide krank. Bestimmen Sie die Wahrscheinlichkeit, dass Ana krank ist, unter der Bedingung das Benjamin krank ist.


Problem/Ansatz:

Die Aufgabe ist ziemlich mies, da Ana und Benjamin abhängig voneinander sind. Ich habe schon unzählige Herangehensweisen ausprobiert, aber irgendetwas scheine ich zu übersehen. Ich wäre für jede Hilfe sehr dankbar :)

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\(A\): Ana ist krank.

\(B\): Benjamin ist krank.

Sei \(a = P(A)\), \(b = P_A(B)\) und \(b' = P_{\overline{A}}(B)\).

Mache dir klar wo diese Wahrscheinlichkeiten in dem Baumdiagramm zu finden sind, in dem \(A\) und \(\overline{A}\) auf der ersten Ebene stehen.

An einem zufälligen Tag ist Ana mit Wahrscheinlichkeit 7% krank und Benjamin mit Wahrscheinlichkeit 5%.

(1)        \(a = 0,07\)

(2)        \(ab + (1-a)b' = 0,05\)

Außerdem sind mit 96%-iger Wahrscheinlichkeit, entweder beide gesund oder beide krank.

(3)        \(ab + (1-a)(1-b') = 0,96\)

Löse das Gleichungssystem aus diesen drei Glechungen.

Bestimmen Sie die Wahrscheinlichkeit, dass Ana krank ist, unter der Bedingung das Benjamin krank ist.

Gesucht ist \(P_B(A)\).

Verwende den Satz von Bayes

        \(P_B(A) = P_A(B)\cdot \frac{P(B)}{P(A)}\).

Avatar von 106 k 🚀

Vielen Dank für die Hilfe :) ich bekomme 80% als Ergebnis.

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