Es seien K,L,M und N Mengen, sowie R1 ⊆ K × L, R2 ⊆ L × M und R, R3 ⊆ M × N Relationen.

Question

Aufgabe:

Es seien K,L,M und N Mengen, sowie R₁ ⊆ K × L, R₂ ⊆ L × M und R, R₃ ⊆ M × N Relationen.

Beweisen Sie, dass:

(i) (R⁻¹)⁻¹ = R,
(ii) ∆(N) ◦ R = R ◦ ∆(M) = R,
(iii) (R₂ ◦ R₁)⁻¹ = R⁻¹ ◦ R⁻¹

gilt.

Problem/Ansatz:

Wie geht man am besten hier voran?

Answer 1

Verwende die Definitionen, z.B. so:

Sei (a,b) ∈ (R⁻¹)⁻¹

<=>  (b,a) ∈ R⁻¹  

^<=> (a,b) ∈ R.

Also ist ein Paar (a,b) genau dann in (R⁻¹)⁻¹, wenn es in R ist.

==>    (R⁻¹)⁻¹ = R .  q.e.d.