Gauß Zahlenebene; Kehrwert konstruieren

Question

Gegeben ist eine Zeichnung in der Gaußschen Zahlenebene. Wie die aussieht, ist eigtl. egal, da es mir um die Theorie geht. Gegeben sind dort 2 Punkte z₁ und z₂. z₁ ist ungefähr bei 1+2j.

So, wie würde ich nun zeichnerisch 1/z₁ bestimmen?

Rechnerisch ist mir schon klar, allerdings soll es hier zeichnerisch sein (zumal ich auch nicht immer so gut den Punkt bestimmen kann).

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Edit: Ich habe die Zeichnung hier zufällig auf dem Board gefunden.

Link: https://www.mathelounge.de/?qa=blob&qa_blobid=5034652199508161606

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Ich denke, dass du so etwas

suchst.

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Nachtrag2: Winkel ist mir klar geworden: Wenn es z.B. 30° im Uhrzeigersinn ist, ist bei 1/z 30° gegen den Uhrzeigersinn.

Allerdings nicht die Länge!

Hier wird das genau erklärt (ist meine Aufgabe), allerdings verstehe ich das mit der Länge dennoch nicht (Minute 1:43):

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@Gast hj2166

Ja, das könnte tatsächlich sein. Aber wie bist du denn da vorgegangen? Einen TR o.ä. dürfen wir wohl nicht benutzen

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Hier stand Falsches

Answer 1

\(z_2= \frac{1}{1+2j}= \frac{1-2j}{(1+2j)(1-2j)} =\frac{1-2j}{1-4j^2}=\frac{1-2j}{5}=0,2-0,4j\)

Noch eine zeichnerische Möglichkeit:

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Also erst mal danke für die Mühe und die Antwort!

So werde ich das aber in der Klausur leider nicht schaffen können! Wir dürfen keine Hilfsmittel benutzen, nur ein Formelblatt.

Das hier wird (wenn dieses Themengebiet überhaupt denn dran kommt) so ungefähr in der Klausur vorgegeben sein: https://www.mathelounge.de/?qa=blob&qa_blobid=5034652199508161606

Und dann wird die Aufgabe dazu lauten, dass ich (u.a.) 1/z1 zeichnen soll.

Ich habe hier ein Video verlinkt, in der die Lösung im Video erklärt wird (1:43 Minute):

Den Winkel von 1/z1 zeichnerisch zu bestimmen ist mir anhand des Videos klar geworden, allerdings nicht, wie ich die Länge bestimmen soll!

Answer 2

Hallo,

hier ist eine geometrische Konstruktion mit Kreisen.

Der schwarze Punkt (1|2) kann verschoben werden.

Und so geht es:

Einheitskreis (gelb) zeichnen,

gegebenen Punkt mit Ursprung verbinden (grün),

Kreis durch gegebenen Punkt und Ursprung zeichnen (rot),

Schnittpunkte der Kreise verbinden (blau),

Geradenschnittpunkt (violett) an der reellen Achse spiegeln.

--> Gesuchter Punkt (schwarz)

Fertig.

:-)

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auch schön!

und zum Dritten:

Zeichne den Einheitskreis und die Ursprungsgerade durch \(Z\) (blau). Errichte im Ursprung das Lot (lila) auf dieser Geraden, welches den Einheitskreis u.a. in \(C\) schneidet. Das Lot in \(C\) (schwarz) zur Geraden durch \(C\) und \(Z\) (grün) schneidet die Ursprungsgerade in \(Z_1\).

Spiegele \(Z_1\) an der Orthogonalen und man erhält \(Z^{-1}\)

Warum funktioniert das? -> Höhensatz im rechtwinkligen Dreieck$$h^2 = 1^2 = |Z| \cdot |Z^{-1}|$$

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Also erst mal danke für die Mühe und die Antwort!

So werde ich das aber in der Klausur leider nicht schaffen können! Wir dürfen keine Hilfsmittel benutzen, nur ein Formelblatt.

Das hier wird (wenn dieses Themengebiet überhaupt denn dran kommt) so ungefähr in der Klausur vorgegeben sein: https://www.mathelounge.de/?qa=blob&qa_blobid=5034652199508161606

Und dann wird die Aufgabe dazu lauten, dass ich (u.a.) 1/z1 zeichnen soll.

Ich habe hier ein Video verlinkt, in der die Lösung im Video erklärt wird (1:43 Minute):

Den Winkel von 1/z1 zeichnerisch zu bestimmen ist mir anhand des Videos klar geworden, allerdings nicht, wie ich die Länge bestimmen soll!

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Wir dürfen keine Hilfsmittel benutzen

Hallo,

Zirkel, Geo-Dreieck und Bleistift dürft ihr nicht verwenden?

Und dann wird die Aufgabe dazu lauten, dass ich (u.a.) 1/z1 zeichnen soll.

Womit sollt ihr denn zeichnen, wenn ihr die notwendigen Werkzeuge nicht verwenden dürft?

Den Winkel von 1/z1 zeichnerisch zu bestimmen...

Du musst die Gerade durch den Ursprung und z1 zeichnen. Da gibt es eigentlich nicht so viel zu verstehen.

wie ich die Länge bestimmen soll!

Rechnerisch ist es der Kehrwert des Betrags von z1. Zeichnerisch gibt es mehrere Möglichkeiten. Drei sind dir hier vorgestellt worden. Wie das ohne Bleistift, Lineal und Zirkel gehen soll, weiß ich aber auch nicht. Das ist wie "Kaffee kochen ohne Wasser".
:-)

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Ja, tatsächlich ohne Zirkel.

Stift und Formelblatt, keine Hilfsmittel

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Ich habe mir das Video angesehen. Demnach musst du die Länge des Zeigers von z1 ausmessen und den Kehrwert bilden.

Beispiel:

z1=3+4i

|z1|=5

|1/z1|=1/5=0,2

Wenn ihr wirklich kein Geo-Dreieck verwenden dürft, musst du das halt abschätzen oder im Kopf rechnen.

Eine kleine Merkhilfe:

Wenn z1 außerhalb des Einheitskreises liegt, ist 1/z1 innerhalb und umgekehrt.

Punkte auf dem Einheitskreis werden nur an der reellen Achse gespiegelt und die Bildpunkte bleiben auf dem Einheitskreis.

Je dichter ein Punkt am Einheitskreis liegt, desto dichter liegt der Bildpunkt ebenfalls am Einheitskreis.

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Also sollst Du den Kehrwert von \(z_1\) nicht konstruieren, sondern nur skizzieren. Ihr sollt demnach nur zeigen, dass Ihr verstanden habt, wo der Kehrwert im Prinzip liegen muss.

Also schätze einfach die Länge der Strecke vom Ursprung bis zum Punkt \(z_1\) und bilde den Kehrwert im Kopf. Bei dem Beispiel, was Du verlinkt hast, ist die Länge ca. 2,5 und der Kehrwert ist also 0,4. Das ist alles.

Und dann zeichne den Punkt \(z_1^{-1}\) mit dem negativen Winkel und der gefundenen Länge ein.

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So werde ich das aber in der Klausur leider nicht schaffen können! Wir dürfen keine Hilfsmittel benutzen, nur ein Formelblatt.

Zeichnerische Lösung wird verlangt, aber Hilfsmittel verboten ??

Wie krank können Leute sein, die Matheaufgaben stellen ?

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Die Aufgabe kann so gelöst werden wie ich es beschrieben habe. Wenn man nach der Summe oder nach dem Produkt zweier komplexer Zahlen in der Gauß‘schen Zahlenebene fragt, können diese skizziert werden. Genau wie der Kehrwert einer der Zahlen.

Die Genauigkeit, mit der das möglich ist, reicht aus, um festzustellen ob der oder diejenigen das Prinzip verstanden hat.