Bestimmen Sie für a 0 einen Ausdruck für x in Abhängigkeit von a und u .

Question

Text erkannt:

attempt.php?attempt \( =647207 \& \mathrm{cmid}=1090567 \& \) page \( =2 \)
Kurse \( \vee \) Hochschule \( \vee \) Moodle-Hilfe \( \vee \)
st Grundlagen

Bestimmen Sie für \( a>0 \) einen Ausdruck für \( x \) in Abhängigkeit von \( a \) und \( u \).
\( \ln (x-a)+\ln (x)=u \text {. } \)

Wichtige Hinweise zur Eingabe:
- Die Exponentialfunktion kann eigegeben werden als \( \exp (u) \) oder \( \% e^{\wedge} u \)
- Die Wurzelfunktion kann eingegeben werden als \( \operatorname{sqrt}(\ldots) \)
\( x= \)

Tipp: Überlegen Sie, warum \( x \) nicht negativ sein kann.
Prüfen
Nächste Seite

Aufgabe:

berechnen Sie die Konzentration von Hydronium-ionen einer wässrigen Lösung mit pH-wert 5,3

Answer 1

Es gilt: ln(a)+ln(b) = ln(a*b):

ln( x-a)*x)) = u |e^x

(x-a)*x = e^u

x^2-ax-e^u = 0

pq-Formel:

x1/2= 0,5a+-√(0,25a^2+e^u)

Comments

Du musst das Minuszeichen in deiner Lösung weglassen, da negative x nicht erlaubt sind (siehe auch den Tipp unter der Aufgabe im Screenshot).

Answer 2

Aloha :)

Willkommen in der Mathelounge... \o/

Wir sollen die Gleichung \(\;\ln(x-a)+\ln(x)=u\;\) nach \(x\) umstellen:$$\ln(x-a)+\ln(x)=u\quad\big|e^{\cdots}$$$$e^{\ln(x-a)+\ln(x)}=e^u\quad\big|e^{a+b}=e^a\cdot e^b$$$$e^{\ln(x-a)}\cdot e^{\ln(x)}=e^u\quad\big|e^{\ln(a)}=a$$$$(x-a)\cdot x=e^u\quad\big|+\frac {a^2}{4}\quad\text{(quadratische Ergänzung)}$$$$x^2-a\cdot x+\frac{a^2}{4}=e^u+\frac{a^2}{4}\quad\big|(a^2-2ab+b^2)=(a-b)^2$$$$\left(x-\frac a2\right)^2=e^u+\frac{a^2}{4}\quad\big|\sqrt{\cdots}$$$$x-\frac a2=\pm\sqrt{e^u+\frac{a^2}{4}}\quad\big|+\frac a2$$$$x=\frac a2\pm\sqrt{e^u+\frac{a^2}{4}}$$

Das Minuszeichen bei \(\pm\) entfällt, weil die \(\ln\)-Funktion nur für positive Argumente defniert ist, sodass \(x>a\) gelten muss. Die gesuchte Lösung ist also:$$x=\frac a2+\sqrt{e^u+\frac{a^2}{4}}$$