Bestimmen Sie für a 0 einen Ausdruck für x in Abhängigkeit von a und u .

Question

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st Grundlagen

Bestimmen Sie für $a>0$ einen Ausdruck für $x$ in Abhängigkeit von $a$ und $u$.
$\ln (x-a)+\ln (x)=u \text {. }$

Wichtige Hinweise zur Eingabe:
- Die Exponentialfunktion kann eigegeben werden als $\exp (u)$ oder $\% e^{\wedge} u$
- Die Wurzelfunktion kann eingegeben werden als $\operatorname{sqrt}(\ldots)$
$x=$

Tipp: Überlegen Sie, warum $x$ nicht negativ sein kann.
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Aufgabe:

berechnen Sie die Konzentration von Hydronium-ionen einer wässrigen Lösung mit pH-wert 5,3

Answer 1

Es gilt: ln(a)+ln(b) = ln(a*b):

ln( x-a)*x)) = u |e^x

(x-a)*x = e^u

x²-ax-e^u = 0

pq-Formel:

x1/2= 0,5a+-√(0,25a²+e^u)

Comments

Du musst das Minuszeichen in deiner Lösung weglassen, da negative x nicht erlaubt sind (siehe auch den Tipp unter der Aufgabe im Screenshot).

Answer 2

Aloha :)

Willkommen in der Mathelounge... \o/

Wir sollen die Gleichung $\;\ln(x-a)+\ln(x)=u\;$ nach $x$ umstellen:$$\ln(x-a)+\ln(x)=u\quad\big|e^{\cdots}$$$$e^{\ln(x-a)+\ln(x)}=e^u\quad\big|e^{a+b}=e^a\cdot e^b$$$$e^{\ln(x-a)}\cdot e^{\ln(x)}=e^u\quad\big|e^{\ln(a)}=a$$$$(x-a)\cdot x=e^u\quad\big|+\frac {a^2}{4}\quad\text{(quadratische Ergänzung)}$$$$x^2-a\cdot x+\frac{a^2}{4}=e^u+\frac{a^2}{4}\quad\big|(a^2-2ab+b^2)=(a-b)^2$$$$\left(x-\frac a2\right)^2=e^u+\frac{a^2}{4}\quad\big|\sqrt{\cdots}$$$$x-\frac a2=\pm\sqrt{e^u+\frac{a^2}{4}}\quad\big|+\frac a2$$$$x=\frac a2\pm\sqrt{e^u+\frac{a^2}{4}}$$

Das Minuszeichen bei $\pm$ entfällt, weil die $\ln$-Funktion nur für positive Argumente defniert ist, sodass $x>a$ gelten muss. Die gesuchte Lösung ist also:$$x=\frac a2+\sqrt{e^u+\frac{a^2}{4}}$$