Zeigen Sie, dass drei der vier Vektoren linear unabhängig sind.

Question

Aufgabe:

Zeigen Sie, dass drei der vier Vektoren linear unabhängig sind.

\( \begin{pmatrix} 1\\-1\\1 \end{pmatrix} \) \( \begin{pmatrix} 2\\1\\-1 \end{pmatrix} \) \( \begin{pmatrix} 1\\0\\1 \end{pmatrix} \) \( \begin{pmatrix} 5\\-1\\2 \end{pmatrix} \)

Problem/Ansatz:

Dass die Vektoren grundsätzlich linear abhängig sind, ist bei 4 Vektoren aus R³ klar, weil ja maximal 3 linear unabhänig sein können.

Jetzt soll hier aber nicht gezeigt werden, dass sie grundsätzlich linear abhängig sind, sondern 3 der vier voneinander unabhängig.

Über das Gleichungssystem komme ich bisher nicht weiter

1r+2s+1t+5w=0

-1r+1s+0t-1w=0

1r-1s+1t+2=0

Es hat uenndlich viele Lösungen, aber wie zeige ich, dass drei der vier Vektoren linear unabhängig sind?

Answer 1

Nimm die ersten drei Vektoren, formatiere sie zu einer Matrix und rechne die Determinante davon aus, wenn sie ungleich 0 ist, dann sind die ersten drei Vektoren linear unabhängig zueinander.

Comments

Ich kann das also nicht aus der Lösung des Gleichungssystems mit den vier Vektoren sehen, dass zwar alle 4 linear abhängig, drei davon aber unabhängig sind.

Das ist nämlich eigentlich meine Frage.

Answer 2

Löse dein Gleichungssystem in Abhängigkeit von w

r = - 2·w ∧ s = -w ∧ t = -w

Sobald eine Unbekannte ungleich 0 ist müssen alle anderen auch ungleich Null sein. damit sind 3 Vektoren immer linear unabhängig. Du musst also in jedem Fall zur Lösung immer alle 4 Vektoren benutzen.