Hallo, bitte nicht erschrecken.
Bezüglich der Zerlegung \( T = \{[x_0,x_1]\ , \ [x_1,x_2] \ , \ ... \ , \ [x_{n-1},x_n] \} \) des Intervalls [a, b] bezeichne \( Q_T^Tf(x) \) die
summierte Trapez-Regel und \( Q_T^Sf(x) \) die summierte Simpson-Regel zur Approximation von
\( I(f)=\int \limits_{a}^{b}f(x)dx. \)
Man zeige:
1. Ist f auf [a, b] konvex, so gilt I(f) ≤ \( Q_T^Tf(x) \).
2. Halbierung jedes Teilintervalls aus T in zwei gleich große Teilintervalle ergibt die Verfeinerung
\( \hat T= \{[x_0, \frac{x_0+x_1}{2}]\ ,\ [\frac{x_0+x_1}{2},x_1]\ ,\ ...\ ,\ [x_{n-1}, \frac{x_{n-1}+x_n}{2}]\ ,\ [\frac{x_{n-1}+x_n}{2},x_n] \} \)
Dafür gilt (für beliebige f ∈ C([a, b]) ):
\( Q_T^Sf(x)=\frac{4}{3}Q_{\hat T}^Tf(x)-\frac{1}{3}Q_{T}^{T} f(x) \)
Hat jemand eine Idee wie ich sowas bearbeite? Falls du/ihr so nett wärt mir das als "Rezept" zu verkaufen, würde ich es dann selber versuchen. Bin wirklich ne Niete in Numerik...
Danke für jede Hilfe!
