Vollständige Induktion nn

Question

Aufgabe:

Zeigen Sie, dass für alle n Element aus N gilt:

Problem/Ansatz:

Ich weiß, dass dafür die vollständige Induktion verwendet werden muss. IA und IV habe ich geschafft, aber beim IS verzweifle ich leider. Bitte um Hilfe.

Answer 1

Einfacher ohne Induktion mit Bernoulli:

\(   (  \frac{n(n+2)}{(n+1)^2}  )^{n+1} \ge \frac{n}{n+1}           \)

<=>  \(  (  \frac{n^2 +2n}{(n+1)^2}  )^{n+1} \ge \frac{n}{n+1}          \)

<=>  \(  ( 1 - \frac{1}{(n+1)^2}  )^{n+1} \ge \frac{n}{n+1}          \)

Und nach der Bernoulli-Ungleichung gilt

\(  ( 1 - \frac{1}{(n+1)^2}  )^{n+1} \ge 1 +(n+1) \cdot \frac{-1}{(n+1)^2}   =    1 + \frac{-1}{n+1}    =    \frac{n}{n+1}    \)

Comments

Ich weiß, dass dafür die vollständige Induktion verwendet werden muss.

Man sollte nichts annehmen oder zu meinen zu wissen, was nicht direkt in der Aufgabe drin steht.

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Dankeschön!

Wie kommt man auf dieses (1- 1/((n+1) hoch 2 ) ?

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(n^2 + 2·n)/(n + 1)^2
= (n^2 + 2·n + 1 - 1)/(n + 1)^2
= ((n + 1)^2 - 1)/(n + 1)^2
= (n + 1)^2/(n + 1)^2 - 1/(n + 1)^2
= 1 - 1/(n + 1)^2

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Wie kommst du auf die letzte Zeile?

Dankeschön.

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Brüche mit gleichen Zähler und Nenner (ungleich 0) kann man zu 1 kürzen.

(n + 1)^2 / (n + 1)^2 = 1