Gradienten und Hesse Matrix ermitteln

Question

Aufgabe:

Gegeben ist die Funktion f(x,y,z)=1+2x+3y

Problem/Ansatz:

b.) Ermitteln Sie den Gradienten der Funktion von Hand!
c.) Ermitteln Sie Gradient und Hessematrix der Funktion!
d.) Geben Sie die Definitheit der Hessematrix an!
e.) Hat die Funktion Extremwerte? Warum (nicht)?

Comments

Kannst du auch bitte dein Problem erläutern? Zumindest b) und c) solltest du hinbekommen, wenn du dir die Definitionen anguckst und ableiten kannst.

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Das habe ich unter b) geschrieben, Ob es richtig ist oder nicht weiß ich nicht.

b) Die gegebene Funktion ist f(x,y,z)=1+2x+3y
Partielle Ableitung nach x:
∂f/∂x=1+2x+3y=0+2(x)^'+3y=0+2*1+0=2

Partielle Ableitung nach y:
∂f/∂y=1+2x+3y=0+0+3=3


Partielle Ableitung nach z:
∂f/∂y=1+2x+3y=0+0+0=0


Der Gradient der Funktion ∂f/∂y=1+2x+3y ist nun der Vektor dieser drei partiellen Ableitungen:
∇ f(x,y,z)=(∂f/∂x,∂f/∂y ∂f/∂z)=(2,3,0)
Der Gradient (2,3,0)) zeigt in die Richtung des steilsten Anstiegs der Funktion. IN unserem Fall bedeutet dies, dass sich die Funktion am stärksten in Richtung der x- und y-Achsen erhöht, während sie unabhängig von z ist.

Und unter c) die Hesse Matrix bin ich auch nicht sicher ob richtig berechnet ist:

f(x,y,z)=1+2x+3y
(∂^2 f)/(∂x^2 )=1+2(x)^'+3y=0+2+0=2

(∂^2 f)/(∂y^2 )=1+2x+3(y)^'=0+0+3=3

(∂^2 f)/(∂z^2 )=1+2x+3y=0+0+0=0
Da wir keine Kontante oder Koefizient für Z haben,setzen wir ,,z^'' überall gleich nach 0

(∂^2 f)/∂x∂y=1+2x+3y=0+0+3(y)^'=3

(∂^2 f)/∂y∂x=1+2x+3y=1+2(x)^'+3y=2

(∂^2 f)/∂x∂z= 0

(∂^2 f)/∂y∂z=0
(∂^2 f)/∂z∂x=0
(∂^2 f)/∂z∂y=0

Danke und LG
Anita

Answer 1

Alles soweit richtig. Die Ableitungen muss man aber nicht so kleinschrittig berechnen.

Wie sieht nun die Hessematrix aus und was bedeutet das für die Definitheit und Extrempunkte?

Comments

Text erkannt:

Gegeben ist die Funktion \( f(x, y, z)=1+2 x+3 y \)
a.) Plotten Sie die Funktion!
b.) Ermitteln Sie den Gradienten der Funktion von Hand!
c.) Ermitteln Sie Gradient und Hessematrix der Funktion!
d.) Geben Sie die Definitheit der Hessematrix an!
e.) Hat die Funktion Extremwerte? Warum (nicht)?

So lautet die aufgabe

Danke und LG

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Das war mir schon klar. Aber d) und e) solltest du ja schaffen, wenn du die Hessematrix angegeben hast.

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Könnten Sie mir bitte bei dieser Aufgabe helfen?

Da kenne mich gar nicht aus:

Text erkannt:

Aufgabe 3: Prof. Snape (https://de.wikipedia.org/wiki/Figuren_der_Harry-Potter-Romane\# Severus_Snape) hat ein Optimiserum für die Schüler und Schülerinnen von Hogwarts entwickelt, dieses enthält Eulenfeder und Fuchshaare.
Die Punktezahl \( Y \) beim Abschlusstest im Fach „Zaubertränke"in Abhängigkeit von der Menge \( E \) von Eulenfeder und \( F \) ( in \( m g \) ) für Fuchshaare ist gegeben durch die Funktion
\( Y=10 E^{0.4} F^{0.3} \)
gegeben.
Ein \( m g \) Eulenfeder kostet 4 Unzen Katzengold, ein \( m g \) Fuchshaare kostet 3 Unzen Katzengold,
jeder Schüler und jede Schülerin bekommt ein Budget von 200 Unzen Katzengold zur Verfügung, die für das Serum verbraucht werden können.
(a) In welchen Mengen sollen die Kinder sich die beiden Zutaten kaufen, um ihre Punkte zu maximieren?
Formulieren Sie das Problem als Optimierungsproblem mit Nebenbedingung!
(b) Lösen Sie das Problem graphisch!
(c) Lösen Sie das Problem mithilfe des Satzes von Karush Kuhn Tucker!

danke und LG
Anita

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