Wahrscheinlichkeit; Flugtickets; Buchungen

Question

Aufgabe:

Eine Fluggesellschaft rechnet damit, dass 4% der Fluggäste, welche ein Ticket gebucht haben, ihren Flug nicht antreten. Für einen Flug mit 88 Plätzen verkauft die Gesellschaft deshalb 90 Tickets.

In der obigen Situation startet kurz nach dem ersten Flug ein zweiter Flug mit einer
baugleichen Maschine, für welchen 89 Karten verkauft wurden. Bestimmen Sie die Wahrscheinlichkeit, dass es Passagiere gibt, welche in keiner der beiden Maschinen einen Platz bekommen.

Problem/Ansatz:

Ich wäre für die Lösung + Erklärung sehr dankbar! Habe leider große Schwierigkeiten die Aufgabe zu lösen.

Comments

Hallo,

die Aufgabe ist meiner Meinung nach nicht eindeutig formuliert, was ja auch die unterschiedlichen Antworten zeigen.

Wenn man annimmt, dass alle Passagiere kommen, bleiben beim ersten Flug zwei Leute übrig.

Beim zweiten Flug gibt es also 89+2=91 reisewillige Menschen, von denen 3 nicht mitfliegen können.

Die Wahrscheinlichkeit bei diesen drei Leuten dabei zu sein, beträgt 3/91≈0,033, also ca. 3,3%. Das sind etwas weniger als die veranschlagten 4%.

Ob meine Überlegungen richtig sind, weiß ich nicht. Warten wir auf mögliche Kommentare...

:-)

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Hallo,
ich habe den Eindruck, dass die meisten Stochastik-Aufgaben unnötig kompliziert formuliert werden, womit ich öfter Probleme habe.
Da ich selber die Antwort nicht kenne, kann ich aktuell die Diskussionen nur mitverfolgen, ich sollte aber in der kommenden Woche die Musterlösung kennen und dann werde ich zu diesem Beitrag zurückkehren und euch die Lösung laut meinem Tutor mitteilen :)

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dass die meisten Stochastik-Aufgaben unnötig kompliziert formuliert werden,

Das sehe ich genauso.

Einige sind aber allgemein kompliziert, egal wie sie formuliert werden.

Ich habe in einem Stochastik-Buch vor einigen Jahren eine Aufgabe gesehen, zu der der Autor drei oder vier Lösungen präsentiert hat, die alle unterschiedliche Ergebnisse lieferten. Dann hat er versucht zu erklären, welches die richtige Rechnung war.

:-)

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Die Wahrscheinlichkeit bei diesen drei Leuten dabei zu sein, beträgt 3/91≈0,033, also ca. 3,3%. Das sind etwas weniger als die veranschlagten 4%.

Die beiden Angaben haben nichts miteinander zu tun. Die 4 % sagen nur aus, dass statistisch gesehen jeder 25. Passagier seinen Flug nicht antritt. Das hängt aber nicht damit zusammen, wie viele Passagiere nun bei Flug 2 "zu prüfen" sind.

Es ist offensichtlich, dass die Aufgabe auf die Anwendung der Binomialverteilung aus ist. Das bedeutet aber, dass die einzelnen "Versuche" unabhängig voneinander sind, was wiederum bedeutet, dass wenn Passagier A den Flug nicht antritt, ist das unabhängig davon, ob Passagier B den Flug antritt oder nicht.

Die Aufgabe ist insofern unglücklich formuliert, dass keine Angabe darüber gemacht wird, dass die Passagiere eine beliebige der beiden Maschinen nutzen können. Denn dann sind die Flüge unabhängig voneinander und es handelt sich hier dann um die Summe zweiter binomialverteilter Zufallsgrößen, die wiederum binomialverteilt ist. Ich vermute, dass das die Intention hinter der Aufgabe war.

Die Musterlösung würde mich selbstverständlich sehr interessieren. :)

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Ich interpretiere den Satz

Bestimmen Sie die Wahrscheinlichkeit, dass es Passagiere gibt, welche in keiner der beiden Maschinen einen Platz bekommen.

so, dass es für jeden Passagier auch möglich ist, das jeweils andere Flugzeug zu benutzen, falls das eigene überbucht ist und das andere noch frei ist.

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hier kommt die Lösung laut meinem Tutor (sorry für die Verspätung):

Y₁ ~ Bin(90, 0.04) => Passagiere aus dem 1.Flieger, die nicht erscheinen
Y₂ ~ Bin(89, 0.04) => Passagiere aus dem 2. Flieger, die nicht erscheinen (hoffe es stimmt, wurde sehr unübersichtlich aufgeschrieben)

P(Y₂>=1 + (2-Y₁))

=P(Personen, die zu viel für den 2. Flug gebucht wurden + Personen, die im 2. Flieger nun fliegen wollen)

= P(Y₂>=3, Y₁=0) + P(Y₂>=2, Y₁=1) + P(Y₂>=1, Y₁>=2)

= P(Y₂>=3) * P(Y₁=0) + P(Y₂>=2)*P(Y₁=1) + P(Y₂>=1)*P(Y₁>=2)
= 0,6958*0,0254 + 0,8755*0,952 + 0,9733*0,8795 = 0,9573

1-0,9573 = 0,0427

(hoffe ich habe mich nicht vertippt oder Ähnliches)

Answer 1

a) P(>88) = P(X=89)+P(90) = (90über89)*0,96^^89*0,04^1 + 0,96^90 = 0,1205

b) P(>88) = P(X=89)= 0,96^89 = 0,0264

Weder in M1 noch in M2: P= 0,01205*0,0264 = 0,00319

Comments

Vielen Dank für die schnelle Antwort

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Die Antwort ist falsch. Sie berücksichtigt nicht den Fall, dass für den ersten Flug 90 Passagiere kommen und für den zweiten Flug 87. Dann bekommt nämlich ein Passagier von Flug 1 noch immer keinen Platz, da er auch den zweiten Flug nicht antreten kann.

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Du bist hier nicht der erste bornierte Ignorant.
Die zweite Maschine hat 88 > 1 Plätze !

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@Gast hj2166:

Wie sieht die richtige Lösung deiner Meinung nach denn aus?

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Ich ziehe meinen letzten Kommentar mal zurück.

Es gibt wohl doch eine Interpretation, die MCs und deine (As) Ansicht rchtfertigt.

ggT und ich waren davon ausgegangen, dass es Buchungen sparat für die erste und die zweite Maschine gibt. Die erste Maschine wird abgefertigt und startet und eventuell müssen Passagiere wegen Überbuchung zurückgelassen werden. Erst danach schaut man sich den zweiten Flug an.
Da maximal zwei Leute des ersten Fluges zurückgelassen wurden, können die sicher in der zweiten Maschine unterkommen, da die ja mehr als einen Platz hat und niemand wird zwingend beide Flüge verpassen. Jedenfalls sind die beiden zum Antritt ihres Fluges erschienen und wollen zu 100% mitfliegen, was die Quote von 96% für den zweiten Flug entsprechend erhöht.

Das "keinen Platz bekommen" der Aufgabenstellung wird hier also als "zurückgewiesen" behandelt und "in keiner der beiden Maschinen einen Platz bekommen" als "zweimal zurückgewiesen".

Ihr geht aber wohl davon aus, dass es einen einzigen Ticket-Verkauf "Düsseldorf-Köln am 11.11." gibt und erst am Flughafen entschieden wird, wer in welche der beiden Maschinen einsteigt, die praktisch gleichzeitig starten. In diesem Fall ist es klar, dass es Leute geben kann, die nicht mitgenommen werden, und das obwohl sie nur einmal zurückgewiesen wurden.

Selbst wenn ein Tutor sich jetzt für eine der beiden Versionen entscheidet, so behält die andere doch ihre Berechtigung.

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Die Diskussion entwickelt sich allmählich zum Loriot-Sketch...

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Ich ziehe meinen letzten Kommentar mal zurück.

Besser ist das, bevor man persönlich wird. ;)

ggT und ich waren davon ausgegangen, dass es Buchungen sparat für die erste und die zweite Maschine gibt.

Und schon da liegt euer Fehler. Die Buchungen mögen separat erfolgen, so steht es ja auch in der Aufgabe, allerdings würde dann die gesuchte Wahrscheinlichkeit

dass es Passagiere gibt, welche in keiner der beiden Maschinen einen Platz bekommen.

0 sein, weil eine Aufteilung der Passagiere auf beide Maschinen nicht stattfindet. Damit wäre die Lösung von ggT sowieso schon einmal falsch, selbst wenn man von eurer Annahme ausgeht.

können die sicher in der zweiten Maschine unterkommen,

Ich hoffe, mit "sicher" meinst du hier nicht "mit einer Wahrscheinlichkeit von 1. Denn das ist nicht der Fall. Wenn von Flug 2 ebenso zu viele Passagiere kommen, kann es von Flug 1 also einen Passagier geben, der auch dort keinen Platz bekommt. Sicher ist hier also schonmal nichts. (Wir gehen nämlich davon aus, dass die Zuteilung unabhängig passiert, unabhängig davon, ob man schon keinen Platz bei Flug 1 bekommen hat).

was die Quote von 96% für den zweiten Flug entsprechend erhöht.

Eben nicht, weil sie nicht bevorzugt werden, da zufällig. -> Unabhängigkeit. Die spielt gleich noch eine Rolle.

Ihr geht aber wohl davon aus, dass es einen einzigen Ticket-Verkauf "Düsseldorf-Köln am 11.11." gibt und erst am Flughafen entschieden wird, wer in welche der beiden Maschinen einsteigt, die praktisch gleichzeitig starten.

Ich gehe davon aus, dass die beiden Flüge unabhängig voneinander sind. Damit ergibt sich für die Zufallsgrößen \(X\widehat{=}\text{Anzahl angetrretener Buchungen für Flug 1}\) und \(Y\widehat{=}\text{Anzahl angetrretener Buchungen für Flug 2}\), dass sie binomialverteilt sind mit den Parametern \(n_X=90\) und \(n_Y=89\) und jeweils \(p=0{,}96\). Wegen der Unabhängigkeit der Flüge ist die Zufallsgröße \(Z=X+Y\) ebenfalls binomialverteilt mit den Parametern \(n=n_X+n_Y\) und \(p=0{,}96). Daher ist die Berechnung von Mathecoach richtig.

Jedenfalls ist diese Interpretation realistischer und war vermutlich auch die Intention des Autors hinter der Aufgabe.

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weil eine Aufteilung der Passagiere auf beide Maschinen nicht stattfindet
Das tut sie ja eben auch nicht.
Nachdem die erste Maschine gestartet ist, werden diejenigen ein oder zwei Passagiere, die nicht mitgekommen sind, auf die zweite Maschine umgebucht, so dass für diese jetzt 89 oder 90 oder 91 Tickets vekauft sind, von denen 89 mit einer Wahrscheinlichkeit von 96% und der Rest mit einer Wahrscheinlichkeit von 100% in Anspruch genommen werden.
Die ein oder zwei Personen können (!) deshalb sicherlich in der zweiten Maschine unterkommen, weil die doch 88 Plätze hat.

kann es von Flug 1 also einen Passagier geben, der auch dort keinen Platz bekommt
Das ist richtig, die Betonung liegt auf "kann" und eben die Wahrscheinlichkeit dafür soll berechnet werden.

Nach eurer Lesart wäre folgendes Szenario denkbar :
Für die erste Maschine erscheinen 86 Personen, alle kommen mit, die Maschine startet und weg ist sie. Für die zweite Maschine erscheinen 89 Reisewillige, die Tickets speziell für diese Maschine (so steht es nämlich im Aufgabentext !) gekauft haben. Einer von denen wird von der Fluggesellschaft abgespeist mit den Worten : "175 Personen wollten mitfliegen, wir haben 176 Plätze, also kein Problem, laut unserer Rechnung sind alle mitgekommen."

Jedenfalls ist diese Interpretation realistischer und war vermutlich auch die Intention des Autors hinter der Aufgabe.
Ob sie realistischer ist wage ich zu bezweifeln, dass sie der Intention des Autors entspricht ist gut möglich, aber nur deshalb, weil sie bedeutend enfacher zu berechnen ist.

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Die von dir betrachteten Fälle habe ich so natürlich auch nicht bedacht. Danke für die Ergänzung. Warten wir einfach mal die Musterlösung ab, wobei ich vermute, dass sie auch nicht so der "Hit" wird.

Answer 2

n = 90 + 89 = 179

p = 0.96

P(X ≥ 177) = ∑ (x = 177 bis 179) ((179 über x)·0.96^x·0.04^{(179 - x)}) = 0.0242

Comments

Warum setzt du p=0,96 an ? Es ist davon auszugehen (wegen des startet kurz nach dem ersten Flug ) , dass Leute, die in der ersten Maschine keinen Platz bekommen haben, zu 100% in die zweite Maschine wollen.

Du sollst die Wahrscheinlichkeit berechnen, dass bestimmte Leute weder in der ersten noch in der zweiten Maschinen einen Platz bekommen. Du kannst sie nicht alle in einen Topf werfen.

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Das ist unerheblich. In 4 % der Fälle wird ein Flug nicht angetreten. Es gibt dann mindestens einen Passagier, der keinen Sitzplatz bekommt, wenn mindestens 177 Passagiere ihren Flug antreten, weil es insgesamt nur 176 Plätze gibt.

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Das ist doch Quatsch.

Realistischerweise würde man sogar davon ausgehen müssen, dass diejenigen, die keinen Platz in der ersten Mschine bekommen haben, von der Fluggesellschaft bevorzugt auf die zweite Maschine gesetzt werden, so dass die Wahrscheinlichkeit, dass jemand mit keiner der beiden Maschinen fliegen kann, 0 ist.

Aber selbst wenn die Plätze ausgelost werden, so ist hier doch die Wahrscheinlichkeit zu berechnen, dass es Leute gibt, die zweimal das schlechte Los ziehen.

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Wie soll die Wahrscheinlichkeit 0 sein? Wenn mehr als 176 Passagiere erscheinen, gibt es mindestens einen, der keinen Platz bekommt. Der Fall kann also eintreten und hat somit eine positive Wahrscheinlichkeit. Und gerade weil davon ausgegangen werden kann, dass die Passagiere aufgeteilt werden (können), interessieren wir uns nur dafür, dass mehr als 176 Passagiere erscheinen.

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Es scheint bei dir (und dem sich nicht äußernden MC) leider immer noch der Irrtum zu bestehen, dass die beiden Maschinen gleichzeitig starten. Lies dir den Aufgabentext durch.

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In 4 % der Fälle wird ein Flug nicht angetreten.

Das stimmt nicht, denn in der Aufgabe steht:

Eine Fluggesellschaft rechnet damit, dass 4% der Fluggäste, welche ein Ticket gebucht haben, ihren Flug nicht antreten.

Die 4% sind also eine Annahme, keine feststehende Größe.

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Ja, da habe ich mich unsauber ausgedrückt. Ändert aber nichts am Sachverhalt, weil man diese Angabe als Wahrscheinlichkeit interpretieren kann.

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Im Aufgabentext steht für mich deutlich

Bestimmen Sie die Wahrscheinlichkeit, dass es Passagiere gibt, welche in keiner der beiden Maschinen einen Platz bekommen.

Also das es Leute gibt, die den ersten Flug gebucht haben aber sowohl beim 1. und 2. Flug nicht mitfliegen können als auch Personen die den 2. Flug gebucht haben und auch weder beim 1. noch beim 2. Flug mitfliegen können.

Auch steht in der Aufgabe, dass die Flugzeuge kurz hintereinander starten. Theoretisch wäre auch gleichzeitig möglich, das ist aber auf vielen Flugplätzen bei Flugzeugen die in die gleiche Richtung starten aus Gründen der Flugsicherheit nicht möglich. Also müssen sie zwangsläufig kurz hintereinander mit einem Sicherheitsabstand starten.

Wartet also einfach mal die Musterlösung ab. Ich bin ziemlich zuversichtlich, dass es so gemeint war, wie ich es interpretiert habe.

Answer 3

Ich versuche es auch nochmal mit einem Lösungsvorschlag.

Ich verstehe die Aufgabe aus der Sicht des Flughafens: Wie groß ist die Wkt eine Beanstandung bearbeiten zu müssen?

Ich verwende die Zufallsgröße X:=Zahl der antretenden Passagiere für den ersten Flug (binomialverteilt, n=90, p=0.96) und Y:=Zahl der antretenden Passagiere für den zweiten Flug (binomialverteilt, n=89). Diese sind, so nehme ich an unabhängig, Ich gehe davon aus, dass überzählige Passagiere des ersten Flugs nur zum Zug kommen, wenn im zweiten Plätze frei bleiben.

Dann tritt für den Flughafen eine Reklamation auf, falls

X=90 und Y=87,88,89

X=89 und Y=88,89

X <= 88 und Y=89

(Die Fälle mit Y=89 kann man dann für die Rechnung zusammenfassen)

(Habe keine Computer Algebra für die Rechnung zur Verfügung.)