Aufgabe:
Sei ∆ABC ein Dreieck, dessen Umkreismittelpunkt U = (0,0) erfüllt. Seien a := |BC|, b := |CA| und c := |AB| und setze u := a+b+c.
Zeige, dass der Mittelpunkt I des Inkreises von ∆ABC gegeben ist durch
I = (\( \frac{a}{u} \))A + (\( \frac{b}{u} \))B + (\( \frac{c}{u} \) )C
Tipp:
Trage zunächst die Strecke AB auf AC ab. Erhalte dadurch den Punkt B′, so zeige zunächst, dass B + B′ − A ∈ wBAC und bestimme mit Hilfe dieser Information wBAC. (Analog für die anderen Winkelhalbierenden.)
Problem/Ansatz:
Wenn ich die Strecke AB auf dem Strahl AC abtrage und dort B' erhalte, habe ich ein gleichschenkliges Dreieck ABB'. Die Winkelhalbierende schneidet Strecke BB' in ihrem Mittelpunkt MBB'. Die Winkelhalbierende wBAC kann ich dann darstellen als Menge aller Punkte A * t((B+B')/2 -A). Zeichnerisch sehe ich, dass B+B'-A auf dieser Winkelhalbierenden liegt, aber rechnerisch nicht, da mich der Divisor 2 stört.
Erste Frage: Wie zeige ich, dass B+B'-A auf wBAC liegt?
Zweite Frage: Wie nutze ich dabei U=(0,0)?
Dritte Frage: wie nutze ich diese Infos, um die Gleichung für I zu zeigen?
Vielen Dank für Eure Hilfe
Matheschwitzer