Mittelpunkt des Inkreises eines Dreiecks

Question

Aufgabe:

Sei ∆ABC ein Dreieck, dessen Umkreismittelpunkt U = (0,0) erfüllt. Seien a := |BC|, b := |CA| und c := |AB| und setze u := a+b+c.

Zeige, dass der Mittelpunkt I des Inkreises von ∆ABC gegeben ist durch
I = (\( \frac{a}{u} \))A + (\( \frac{b}{u} \))B + (\( \frac{c}{u} \) )C

Tipp:

Trage zunächst die Strecke AB auf AC ab. Erhalte dadurch den Punkt B′, so zeige zunächst, dass B + B′ − A ∈ w_BAC und bestimme mit Hilfe dieser Information w_BAC. (Analog für die anderen Winkelhalbierenden.)

Problem/Ansatz:

Wenn ich die Strecke AB auf dem Strahl AC abtrage und dort B' erhalte, habe ich ein gleichschenkliges Dreieck ABB'. Die Winkelhalbierende schneidet Strecke BB' in ihrem Mittelpunkt M_BB'. Die Winkelhalbierende w_BAC kann ich dann darstellen als Menge aller Punkte A * t((B+B')/2 -A). Zeichnerisch sehe ich, dass B+B'-A auf dieser Winkelhalbierenden liegt, aber rechnerisch nicht, da mich der Divisor 2 stört.

Erste Frage: Wie zeige ich, dass  B+B'-A auf w_BAC liegt?

Zweite Frage: Wie nutze ich dabei U=(0,0)?

Dritte Frage: wie nutze ich diese Infos, um die Gleichung für I zu zeigen?

Vielen Dank für Eure Hilfe

Matheschwitzer

Comments

A, B und C sind Punkte. Wie multipliziert man einen Punkt mit einem Bruch?

Und wie kann ein Punkt die Summe von drei Produkten sein?

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Wir sind im Zweidimensionalen. Die Seitenlängen a, b, c sind Skalare, ebenso der Umfang u.

Ich kann die Koordinaten der Punkte A, B und C mit diesen Skalaren multiplizieren (dividieren), indem ich jede Komponente damit multipliziere/dividiere.

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Ein Punkt kann demzufolge die Summe von drei Produkten sein, da ich mit Punktkoordinaten rechne.

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Zeige, dass der Mittelpunkt \(I\) des Inkreises von \(\triangle ABC\) gegeben ist durch$$I =  \frac{a}{u}A +\frac{b}{u}B +\frac{c}{u}C \quad\quad u=a+b+c$$

cool! das kannte ich noch nicht

https://www.desmos.com/calculator/pjb7xckpmh

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Das findet man auch nur in speziellen Aufsätzen. Schade eigentlich, ich finds auch richtig cool

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Nur in speziellen Aufsätzen oder bei Wikipedia

https://de.wikipedia.org/wiki/Inkreis#Koordinaten

Answer 1

Hallo

die Höhe oder die Seitenhalbierende im gleichschenkligen Dreieck ist Winkelhalbierende, ich denk das muss man nicht noch zeigen?

lul

Comments

Hallo lol, doch, das würde ich machen, da ich es aus der VL nicht belegen kann, wenn es im Beweis eine Rolle spielt.

LG

Matheschwitzer

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Hallo

aber das geht elementar, die Höhe oder Seitenhalbierende zerlegt in 2 gleiche Dreiecke.

lul

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Ja. Wie kann ich im Beweis vorgehen?

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Ich habe festgestellt, dass ich ohne den in der Aufgabe formulierten Tipp über Parameterdarstellungen der Winkelhalbierenden gut zum Ziel komme.

Viele Grüße

Matheschwitzer

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Ich habe festgestellt, dass ich ohne den in der Aufgabe formulierten Tipp über Parameterdarstellungen der Winkelhalbierenden gut zum Ziel komme.

Gibst Du uns auch noch einen Hinweis, wie Du es dann gemacht hast?

Zweite Frage: Wie nutze ich dabei U=(0,0)?

Wenn man nach dem Tipp vorgeht: "gar nicht"

Die Formel für \(I\) gilt auch, wenn \(U\) nicht im Ursprung liegt.

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Mein Hinweis zum Vorgehen:

für jede Winkelhalbierende eine Parameterdarstellung entwickeln

- Richtungsvektor: kennen keinen Punkt auf der Winkelhalbierenden - einen aus den anliegenden Dreiecksseiten basteln

- den unbekannten Faktor so definieren, dass der Umfang und die Seiten mit ins Spiel kommen

- umformen und man erhält den Ausdruck für I

- Schlussfolgerung ziehen, da das für jede der drei WH möglich ist

VG

Matheschwitzer

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für jede Winkelhalbierende eine Parameterdarstellung entwickeln

Oh! ... ist doch genau das, was der Tipp aussagt. Du schriebst aber:

Ich habe festgestellt, dass ich ohne den in der Aufgabe formulierten Tipp ... gut zum Ziel komme.

Dann haben wir beiden den Tipp wohl unterschiedlich interpretiert ;-)

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Ja, da hast du Recht:)