Werbungskosten, Exponentialfunktion nur mit Variablen

Question

Aufgabe: Bekannt ist, dass ein Betrieb jährlich mindestens 10GE (unabhängig vom Umsatz), jedoch nie mehr als 200 GE pro Jahr für Werbung ausgibt. Außerdem investiert der Betrieb 120GE/Jahr in Werbung bei einem monatlichen Umsatz von 200 GE/Monat. Daher wählen wir für die jährlichen Werbungskosten w (in GE pro Jahr) in Abhängigkeit vom monatlichen Umsatz x (in GE pro Monat) eine Funktion der Gestalt w : [0,∞) ->ℝ mit w(x)=a/b+e^-c*x und den rellen Parametern a>0, b>0 und c>0.

1.) Berechne Parameter a, b und c
2.) Wie hoch sind die jährlichen Werbungskosten bei einem monatlichen Umsatz von 150GE?
3.) Ab welchem Umsatz pro Monat (in GE pro Monat) gibt das Unternehmen 170 GE/pro Jahr für Werbung aus?

Problem/Ansatz: Hat jemand einen Ansatz?

LG und Danke im Voraus.

Answer 1

Das ist wohl  w : [0,∞) ->ℝ mit \( w(x)=\frac{a}{b+e^{-c \cdot x}} \)

mindestens 10GE  ==>       w(0)=10

nie mehr als 200 GE ==>   Grenzwert für x gegen unendlich ist 200,
                                             also \( \frac{a}{b} = 200\)

und w(200)=120

Ich komme auf a=200/19   b=1/19  und c≈0,000965.

Comments

Wie oben beschrieben habe ich es bis auf den Grenzwert genauso. Ich weiß aber nicht wie ich damit 1.-3 bearbeiten kann. Wie bist Du auf die Parameter gekommen?

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Allerdings habe ich mich gefragt ob w(200)=120 Sinn macht. 120 pro Jahr kann ich doch nicht mit 200 pro monat gleichsetzen?

ist doch vorgegeben: w (in GE pro Jahr) in Abhängigkeit vom monatlichen Umsatz x (in GE pro Monat)

2) Wenn du die Werte von a,b,c kennst, kannst du die doch bei

\( w(x)=\frac{a}{b+e^{-c \cdot x}} \)

einsetzen und dann w(150) ausrechnen.

3)  Hier die Gleichung w(x)=170 lösen.

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w(200)=120 hab ich jetzt verstanden.  Ich versteh jedoch nicht wie du mit den 3 Sachen auf die einzelnen Parameter gekommen bist. Ich steh voll auf dem Schlauch

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mindestens 10GE  ==>       w(0)=10   (1)

nie mehr als 200 GE
                  ==>   Grenzwert für x gegen unendlich ist 200,                                              also \( \frac{a}{b} = 200\)   (2)

und w(200)=120   (3)

mit  \( w(x)=\frac{a}{b+e^{-c \cdot x}} \)  gibt das

(1)     \( w(0)=\frac{a}{b+e^{-c \cdot 0}} = \frac{a}{b+1} = 10\)
                          ==>a= 10(b+1)

(2)    \( \frac{a}{b} = 200\)   ==>    a=200b

(1) und (2) zusammen also   200b = 10(b +1) =10b+10

                                             <=>   190b = 10

                                            <=>  b = \( \frac{1}{19} \)

mit a=200b also  a= \(   \frac{200}{19} \)

Einsetzen in (3) gibt   w(200)=120

    \( 120=w(200)=\frac{  \frac{200}{19}}{\frac{1}{19} +e^{-c \cdot 200}} \)

\( 12=\frac{200}{1+19\cdot e^{-c \cdot 200}} \)

\( 12(1+19\cdot e^{-c \cdot 200})=200 \)

\( 12+228\cdot e^{-c \cdot 200}=200 \)

\( 228\cdot e^{-c \cdot 200}=188 \)

\(  e^{-c \cdot 200}=0,824561\)

-200c = ln(0,824561) =-0,192904

           c=0,000965

Oha, da war mein c wohl falsch, das korrigiere ich jetzt.

Answer 2

Hallo

mindestens 10GE (unabhängig vom Umsatz) heisst w(0)=10

" investiert der Betrieb 120GE/Jahr in Werbung bei einem monatlichen Umsatz von 200 GE/Monat." heisst

w(200)=120.

"jedoch nie mehr als 200 GE pro Jahr" heisst w(oo)=200

damit hast du 3 Gleichungen für a,b,c wenn du nur den Text genau liest. so geht man bei allen Textaufgaben vor!

Gruß lul

Comments

Die drei habe ich auch rausgefiltert. Allerdings habe ich mich gefragt ob w(200)=120 Sinn macht. 120 pro Jahr kann ich doch nicht mit 200 pro monat gleichsetzen?

Die dritte bedeutet Grenzwert. Da bin ich mir unsicher, da wir den noch nicht hatten/bzw verwenden sollen. Geht das auch anders?

LG und danke für die schnelle Antwort.