Berechnen Sie den Wendepunkt und die Ortskurve

Question

Aufgabe:

Für jedes \( a>0 \) ist eine Funktion \( f_{a} \) mit \( f_{a}(x)=x^{2}(x-a) \) gegeben.

a) Zeigen Sie, dass der Graph der Funktion \( f_{a} \) für alle a \( >0 \) (genau) einen Wendepunkt \( W_{a} \) hat.

Berechnen Sie die Koordinaten dieses Wendepunktes in Abhängigkeit von \( a \).

b) Bestimmen Sie eine Gleichung der Ortskurve, auf der alle Wendepunkte \( W_{a} \) liegen.

Answer 1

f ( x ) = x^2 * ( x - a )  und  a > 0
f ( x ) = x^3 - a * x^2
f ´( x ) = 3 * x^2 - 2 * a * x
f ´´ ( x ) = 6 * x  - 2 * a

Wendepunkt : f ´´ ( x ) = 0
6 * x  - 2 * a =0
6 * x = 2 * a
x = 1/3 * a
f ( 1/3 * a ) = ( 1/3 * a )^2 * ( 1/3 * a - a )
f ( 1 /3 * a ) = 1/9 * a^2 (  -2/3 * a )
f ( 1 /3 * a ) = - 2/27 * a^3
W ( 1/3 * a l - 2/27 * a^3  )

Ortskurve
x =1/3 * a  =>  a = 3x
y = -2/27 * a^3
ort = -2/27 * (3x)^3
ort = -2 * x^3

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mfg Georg

Comments

Kannst du nochmal deine Schritte zur Ortskurve erklären, kann da nicht so ganz folgen, der Rest ist klar.

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an der Ortskurve habe ich mich beim Erlernen
auch  schwergetan. Wenn man das Prinzip verstanden
hat wird es dann eher einfach.

Ortskurven gibt es in Funktionsscharen mit
Parameter. Hier a.

Die Koordinaten des  Wendepunkts  sind abhängig
von a.
  W ( 1/3 * a l - 2/27 * a³  )
  x =1/3 * a
  y = -2/27 * a³

  Wenn ich einige Funktionen mit verschiedenen
a zeichne erhalte ich das Bild einer Kurvenschar.
Wenn ich die Wendepunkte verbinde erhalte ich
die Ortskurve der Wendepunkte.

 Im Graph ( x,y ) der Funktionen habe ich eine neue
Kurve ( Funktion ) erzeugt von der ich schon einmal
weiß  y = f ( a ) = -2/27 * a^3
Jetzt will ich aber wissen y = f ( x ). Dazu forme ich
um x = 1/3 * a  zu  a = 3 * x  und ersetze
y = -2/27 * a³ = -2/27 * (3x)³
ort  ( x ) = -2 * x³

Die Kurzfassung des Umstellens findet du ja
in der Antwort oben.

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  mfg Georg