Was ist eine unendliche Reihe?

Question

Sei \( (a_n)_{n \in \mathbb{N}} \) eine Folge reeller zahlen. Eine unendliche Reihe entsteht in dem man die Folgenglieder durch ein Pluszeichen verbindet:

\( a_0 + a_1 + ... \).

Das ist mir erstmal klar. Präziser: Für jedes \(m \in \mathbb{N} \) betrachte man folgende Partrialsumme:

\( s_m : = \sum^{m}_{n=0} a_n = a_0 + a_1 + ... + a_m \).

Die Folge \( (s_m)_ {m \in \mathbb{N}} \) heisst (unendliche Reihe) mit den Gliedern \( a_n \) und wird mit \( \sum^{\infty}_{n=0} a_n \) bezeichnet.


Irgendwie beschreiben die beiden Definition nicht dieselbe Objekte. Erstmal habe ich eine "unendliche Summe" aus einer Folge und zweitens habe ich folgende Folge \( ((a_0), (a_0 + a_1), (a_0 + a_1 + a_2), ...) \). Ich verstehe es nicht.

Answer 1

Die erste Definition ist auch keine wirkliche Definition sondern eine Veranschaulichung. Es ist a priori völlig unklar was eine unendliche Summation sein soll. Das erledigt die Präzisierung, d.h. die wirkliche Defintion.

Comments

Dann warum wird eine unendliche Reihe durch \( \sum^{\infty}_{n=0} a_n \) beziechnet? Sind das einfach nur Symbole nicht nicht ganz wiedergeben was eigentlich eine Reihe ist?

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Weil das eine historisch gewachsene, ziemlich besch...eidene Bezeichnungen sind die anscheinend nicht mehr wegzukriegen ist. Genauso wie das unendlich hier, das ist vollkommen unnötig und wird eigentlich heutzutage nicht mehr verwandt (endliche Reihen sind schlicht Summen). Man verwendet auch unglücklicherweise die selbe Bezeichnung für die Reihe und für dren Wert. Deinen zweiten Satz verstehe ich nicht.