Bestimmen Sie die Äquivalenzklassen von ∼L und zeigen Sie, dass jede Äquivalenzklasse von ∼L eine Gerade im R^n ist.

Question

Aufgabe: Es sei L ⊂ R^n eine Gerade im R^n mit 0 ∈ L. Auf R^n definieren wir die Relation ∼L für alle x, y ∈ R^n durch:
x ∼L y : ⇐⇒ x − y ∈ L

Bestimmen Sie die Äquivalenzklassen von ∼L und zeigen Sie, dass jede Äquivalenzklasse von ∼L eine Gerade im R^n ist. Wie liegen diese jeweils zur Geraden L?

Problem/Ansatz:

Mein Problem ist es die Äquivalenzklasse auf die Geradenform zu bringen oder anders umzuformen.

 [x] = {y ∈ R^n ∣ x-y ∈ L} = {y ∈ R^n | (x1,...,xn) + t(x-y), t ∈ R} 

L ist ein linearer Unterraum

Schon einmal Danke für die Hilfe ;)

Comments

Bedenke auch 0∈L.

Answer 1

[x] = {y ∈ Rn ∣ x-y ∈ L} = {y ∈ Rn | (x1,...,xn) + t(x-y), t ∈ R}

wegen 0∈L ist das doch  {y ∈ Rn | t(x-y), t ∈ R}

Comments

Aber damit habe ich ja einfach L und nicht die Äquivalenzklasse von L oder? Dachte nämlich, dass die Äquivalenzklasse Geraden bildet, welche parallel zu L verlaufen. Liege ich da falsch?

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Also, wenn L die Menge aller z ist mit z= t*u , also Gerade durch 0

mit Richtung u.

Dann gilt ja für die Klasse [x]:

{y ∈ Rn | y-x=t*u, t ∈ R} also y = x+t*u.

also sind in der Klasse von x, alle y, die auf einer zu L parallelen

Geraden durch x liegen.

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Ahhh danke. Jetzt hat es Klick gemacht.