Bestimmen Sie den Wert der folgenden Reihen, merkwürdiges Ergebnis

Question

Aufgabe:

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Aufgabe 4:
Bestimmen Sie den Wert der folgenden Reihen:
a) \( \sum \limits_{k=1}^{\infty}\left[\left(\frac{1}{6}\right)^{k-1}+\left(\frac{1}{11}\right)^{k}\right] \)
b) \( \sum \limits_{k=-1}^{\infty}\left[\left(\frac{1}{3}\right)^{k+1}+\left(\frac{1}{4}\right)^{k-1}\right] \)

Hallo zusammen,

wir haben neu Reihen durchgenommen und sollen folgende Übungsaufgaben rechnen.

Nach Anwendung der geometrischen Reihe bekomme ich für:

a.) 23/110

und

b.) 272/6

heraus. Allerdings kommen mir diese Werte recht merkwürdig vor.

Ich habe den Index verschoben, bei a.) 1/11 und bei b.) 16 vor die Summe geschrieben und diese dann in zwei Summen aufgeteilt.

Stimmen diese Ergebnisse?

Vielen Dank!

Answer 1

Für a) kommt 13/10 und für b) hab ich 137/6 raus.

Wo holst du denn bei b) die 16 her?

Ich denke, deine Rechenwege sind okay. Ich vermute, du hast dich irgendwo verrechnet.

Comments

Super, danke für deine Antwort.

Bei der b.) hab ich (1/4)^(k-2) zu [(1^k)*(1^-2)]/[(4^k)*(4^-2)] umgeformt, wodurch 4^2/1^2 16 ergibt.

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Aber das kommt doch beim ersten Summanden in der Summe gar nicht vor. Wie willst du da ausklammern?

Trenne die Summen erst auf, mache eine Indexverschiebung und schaue dann, wie du die geom. Reihe anwenden kannst.

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Tatsache, so hat es funktioniert, vielen Dank!

Darf man eine Indexverschiebung also nicht vorm aufteilen der Summen durchführen?

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Könntest du auch. Aber du musst hier ja zwei verschiedene Verschiebungen machen. Also ist es sinnvoller, die Summen erst zu splitten.

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Das verstehe ich noch nicht ganz. Ist die Verschiebung nicht immer gleich, wirkt sich durch unterschiedliche Exponenten nur anders aus?

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Du möchtest für die geom. Reihe doch \(k)\  als Exponent haben.

Die Verschiebung wirkt sich gleich aus: verschiebst du den Laufindex um 1 nach links, so musst du die Variable in der Summe um 1 erhöhen.