Berechnung einer Ortskurve

Question

Aufgabe:

Hallo, ich arbeite gerade an der Aufgabe, um für die Funktion fk(x) = 2x²-2kx+k die Ortskurve zu berechnen, auf der alle Tiefpunkte von fk(x) liegen. Jedoch scheitere ich, ohne zu verstehen, was das Problem ist.   

Problem/Ansatz:

Zunächst habe ich die Tiefpunkte berechnet und dafür die erste Ableitung = 0 gesetzt. Hier ergab sich dann der Tiefpunkt TP(0,5k|0,5k). Weiter komme ich nicht, weil mich alles danach verwirrt und ich dann auf die Ortskurve O = x komme.

Comments

Hallo,

die Tiefpunkte erhältst du mit der ersten Ableitung.

f'(x)=4x-2k=0 → x=0.5k → k=2x

y=f(0.5k)=2•(0.5k)²-2•0.5k•k+k=-0.5k²+k

y=-2x²+2x

:-)

Answer 1

Hallo,

Willkommen in der Mathelounge!

... um für die Funktion fk(x) = 2x2-2kx+k die Ortskurve zu berechnen, auf der alle Tiefpunkte von fk(x) liegen.

ich habe ein anderes Ergebnis:$$\begin{aligned} f_{k}\left(x\right)&=2x^{2}-2kx+k \\ f'_{k}\left(x\right)&=4x-2k \\ f'_{k}(x)& =0 \implies x_{t} = \frac{k}{2} \implies k = 2x_{t} \end{aligned}$$Setzt man das \(k\) in die Ausgangsfunktion ein, erhält man die Ortskurve der Tiefpunkte:$$o\left(x\right)=-2x^{2}+2x$$

Hier als Desmos-Applet:

Den Punkt \(k=\dots\) kann man mit Maus verschieben.

Gruß Werner

Answer 2

TP(0,5k|0,5k)

x=0,5k und y=0,5k

==>   y=x ist die Gleichung der Ortskurve, Gerade durch (0,0) mit

Steigung 1.

Answer 3

 \(f_k(x) = 2x^2-2kx+k\) die Ortskurve zu berechnen, auf der alle Tiefpunkte von \(f_k(x)\) liegen.

\(f´_k(x) =4x-2k\)

\(4x-2k=0\)

\(x=\frac{1}{2}k \)      \(f_k(\frac{1}{2}k) = 2*(\frac{1}{2}k)^2-2k*(\frac{1}{2}k)+k=-\frac{1}{2}k^2+k\)

\(x=\frac{1}{2}k \)      \(y=-\frac{1}{2}k^2+k\)

\(k=2x \)      \(y=-\frac{1}{2}(2x)^2+2x\)   Ortskurve:   \(y=-2x^2+2x\)