Untersuchen Sie {f_n}_n auf Konvergenz. Liegt gleichmäßige Konvergenz vor?

Question

Gegeben Sei die Funktionenfolge {f_n}_n mit

\(f_n(x)=\left\{\begin{array}{rl}n^3x & \text{für }0≤x<\frac{1}{n}\\ & \\-n^3x+2n^2 & \text{für }\frac{1}{n}≤x<\frac{2}{n}\\ & \\ & \text{für }\frac{2}{n}≤x≤1\end{array}\right.\quad;\quad x\in I=[0;1]\)

Untersuchen Sie {f_n}_n auf Konvergenz. Liegt gleichmäßige Konvergenz vor?

Problem/Ansatz:
Habe für alle drei 0 raus, das kann aber nicht richtig sein oder? Wie mache ich das doch mal richtig. Kann mir das jemand für n^3 x vormachen?

Comments

Für den dritten Bereich fehlt die Angabe f_n(x)=0 - oder?

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Oh da hast du recht! Danke

Answer 1

Hallo

für n^3x  0<x<1/n  also z.B n=100 x=1/200<1/n fn(x)=10^6/200=0,5*10^4 nicht sehr nahe an 0?

sind die fn richtig? wie kommst du auf 0? allerdings weiß ich nicht was genau {f_n}_n bedeutet

lul

Comments

Oh sehe ich grade... Leider einen Denkfehler gehabt. Danke!

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Lass Dich nicht irritieren. Folge dem link von nudger

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Passt das?
\(f_n(x)=\left\{\begin{array}{rl}+∝ & \text{für }0≤x<\frac{1}{n}\\ & \\0 & \text{für }\frac{1}{n}≤x<\frac{2}{n}\\ & \\ 0 & \text{für }\frac{2}{n}≤x≤1\end{array}\right.\quad;\quad x\in I=[0;1]\)

Answer 2

Im 3. Fall sollte ja auch irgendwas da stehen...

Wie auch immer: Arbeite dieses Beispiel hier https://www.mathelounge.de/1013074/bestimmen-sie-die-grenzfunktion-f-der-funktionenfolge-f-n

mal durch, dann solltest auch bei diesem hier klarer sehen.

Comments

Danke sehr nett, mache ich!

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Dein Ergebnis stimmt nicht. Arbeite das Beispiel gründlich durch, insb. der erste Fall (der drei Fälle) ist genau gleich. "Durcharbeiten" heißt (wie immer bei Mathe-Aufgaben) so, dass Du es 100%ig verstanden hast.

Und das kann schon deshalb nicht passen, weil bekanntlich in Grenzwerten gar kein \(n\) mehr auftaucht, man hat ja \(n\to\infty\) gemacht.