Zeigen Sie, Summe von n=0 in ∞ (n+1)x^n = 1/(1-x)^2 für alle x∈(−1,1)

Question

Aufgabe: Zeigen Sie, Summe von n=0 in ∞ (n+1)x^n = 1/(1-x)^2 für alle x∈(−1,1)

Verwenden Sie das Cauchy-Produkt
Problem/Ansatz

leider weiss ich garnicht wie ich hier vorgehen soll. Vielleicht könnte mir jemand helfen

Answer 1

Hallo Blümchen.122,

ich habe es mal so versucht....

Text erkannt:

\( \begin{array}{l}=\sum \limits_{n=0}^{\infty} \sum \limits_{k=0}^{n} x^{n} \\ =\sum \limits_{n=0}^{n=0} x^{n} \sum \limits_{n=0}^{n} 1=\sum \limits_{n=0}^{\infty} x^{n}(n+1) \\\end{array} \)

Answer 2

\( \frac{1}{1-x^2}=\frac{1}{1-x} \cdot \frac{1}{1+x} \)

Der erste Faktor ist für x∈(-1,1)

  \( \sum\limits_{n=0}^\infty x^n \)und der zweite \( \sum\limits_{n=0}^\infty (-x)^n \).

Oh, falsche Aufgabe abgeschrieben.

Answer 3

Es geht auch ohne Cauchy-Produkt: man beachte \((n+1)x^n=\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x} x^{n+1}\).

Setzt man das in die Summe ein und vertauscht Summe und Differentiation, so erhält man $$\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x} \sum\limits_{n=0}^{\infty}x^{n+1}=\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x} x\sum\limits_{n=0}^{\infty}x^{n}.$$

Dann muss man nur noch die geometrische Reihe ableiten können.