Zeigen Sie ob injektiv oder bijektiv

Question

Aufgabe:

1. Geben Sie eine injektive Abbildung g : {1, 2, 3} → P ({1, 2, 3}) an. Können Sie eine bijektive Abbildung h : {1, 2, 3} → P ({1, 2, 3}) finden? Begründen Sie Ihre Antwort.
2. Es sei f : X → Y eine Abbildung von Mengen. Zeigen Sie: f injektiv ⇔ es gibt eine Abbildung g : Y → X mit g ◦ f = idX .
3. Es sei f : X → Y eine Abbildung von Mengen. Zeigen Sie: f surjektiv ⇔ es gibt eine Abbildung g : Y → X mit f ◦ g = idY .

Problem/Ansatz:

Könnten mir vielleicht jemand helfen? Ich verstehe nicht wie ich hier vorangehen soll. Wäre super lieb

Answer 1

Geben Sie eine injektive Abbildung g : {1, 2, 3} → P ({1, 2, 3}) an.

                    g(1)={1} , g(2)={2} , g(3)={3}  wäre eine.

Können Sie eine bijektive Abbildung h : {1, 2, 3} → P ({1, 2, 3}) finden?

Nein. Die Anzahl der Elemente von P ({1, 2, 3}) ist 8 und die von {1, 2, 3},

also gibt es keine surjektive, also auch keine bijektive Abb. dieser Art.

Es sei f : X → Y eine Abbildung von Mengen.
Zeigen Sie: f injektiv ⇔ es gibt eine Abbildung g : Y → X mit g ◦ f = idX .

f injektiv und a ein Element von X

==>  Für alle y∈f(X) gibt es genau ein x∈X mit f(x)=y .

Also ist g : Y → X  mit

                           g(y) =  x , falls y=f(x)  und g(y)=a sonst

eine wohldefinierte Abbildung.

Und für alle x∈X gilt g(f(x)) = g(y)  mit y∈f(X) und g(y)=x.

Also  g ◦ f = id_X .