0 Daumen
391 Aufrufe

Aufgabe:


Beweise die Konvergenz der Reihe:

$$\sum \limits_{n=1}^{\infty}\frac{(2n)!}{n^{n}}$$


Problem/Ansatz:

Mein Ansatz wäre das Quotientenkriterium. Allerdings bin ich mir nicht sicher wie ich vereinfachen kann, um den Grenzwert der Folge zu ermitteln. Ich weiß nicht, wie ich die n-Fakultät ausklammern soll.

Avatar von

3 Antworten

+1 Daumen
 
Beste Antwort

Seien $$a_n = \frac{(2n)!}{n^n}$$ und $$a_{n+1} = \frac{(2(n+1))!}{(n+1)^{n+1}}$$ dann sehen wir uns einmal das Verhalten von $$\frac{a_{n+1}}{a_n}$$ für \(n\) gegen unendlich an.

$$\lim_{n \to \infty } \frac{(2(n+1))!}{(n+1)^{n+1}}\frac{n^n}{(2n)!} $$

$$= \lim_{n \to \infty } \frac{(2n)!(2n+1)(2n+2)}{(2n)!} \frac{n^n}{(n+1)^n (n+1)}$$

$$= \lim_{n \to \infty } \frac{(2n+1)(2n+2)}{(n+1)} \left(\frac{n}{n+1}\right)^n$$

$$= \lim_{n \to \infty } \frac{2(2n+1)(n+1)}{(n+1)} \left(\frac{n}{n+1}\right)^n$$

$$= 2\lim_{n \to \infty } (2n+1) \lim_{n \to \infty } \left(\frac{n}{n+1}\right)^n$$

$$= 2(\infty \cdot \frac{1}{e}) = \infty > 1$$

daher ist die Reihe divergent!

Avatar von 3,1 k

Vielen Dank!

Ich habe zu danken!

Hinter deinem ersten Limes fehlt das Divisionszeichen zwischen den beiden Brüchen.

0 Daumen

Kleine Zahlen für n eingesetzt:

n\(\sum \limits_{n=1}^{\infty}\frac{(2n)!}{n^{n}}\)
12
28
334\( \frac{2}{3} \)
4192\( \frac{1}{6} \)

Nach Konvergenz sieht das nicht aus.

Avatar von 123 k 🚀

Ja, stimmt. Dann steht wieder Unsinn in den Lösungen. Danke!

0 Daumen

Quotientenkriterium funktioniert auf jeden Fall.

Es geht aber einfacher:

$$\frac{(2n)!}{n^n}=\frac{n!\cdot \overbrace{(n+1)(n+2)\cdots (n+n)}^{>n^n}}{n^n}> n!$$

Avatar von 11 k

Ich werd nicht ganz schlau draus. Zeigst du hier, dass die Partialsumme der Reihe größer ist als n! welches divigiert? (bzw. Minorantenkriterium?)

Eine notwendige Bedingung für die Konvergenz einer Reihe ist, dass die Reihenglieder eine Nullfolge bilden.

Die Rechnung oben zeigt aber, dass dies nicht der Fall ist.

Alles klar, Danke!

Ein anderes Problem?

Stell deine Frage

Ähnliche Fragen

Willkommen bei der Mathelounge! Stell deine Frage einfach und kostenlos

x
Made by a lovely community