Seien $$a_n = \frac{(2n)!}{n^n}$$ und $$a_{n+1} = \frac{(2(n+1))!}{(n+1)^{n+1}}$$ dann sehen wir uns einmal das Verhalten von $$\frac{a_{n+1}}{a_n}$$ für \(n\) gegen unendlich an.
$$\lim_{n \to \infty } \frac{(2(n+1))!}{(n+1)^{n+1}}\frac{n^n}{(2n)!} $$
$$= \lim_{n \to \infty } \frac{(2n)!(2n+1)(2n+2)}{(2n)!} \frac{n^n}{(n+1)^n (n+1)}$$
$$= \lim_{n \to \infty } \frac{(2n+1)(2n+2)}{(n+1)} \left(\frac{n}{n+1}\right)^n$$
$$= \lim_{n \to \infty } \frac{2(2n+1)(n+1)}{(n+1)} \left(\frac{n}{n+1}\right)^n$$
$$= 2\lim_{n \to \infty } (2n+1) \lim_{n \to \infty } \left(\frac{n}{n+1}\right)^n$$
$$= 2(\infty \cdot \frac{1}{e}) = \infty > 1$$
daher ist die Reihe divergent!