Konvergenz von Reihe beweisen

Question

Aufgabe:

Beweise die Konvergenz der Reihe:

$$\sum \limits_{n=1}^{\infty}\frac{(2n)!}{n^{n}}$$

Problem/Ansatz:

Mein Ansatz wäre das Quotientenkriterium. Allerdings bin ich mir nicht sicher wie ich vereinfachen kann, um den Grenzwert der Folge zu ermitteln. Ich weiß nicht, wie ich die n-Fakultät ausklammern soll.

Answer 1

Seien $$a_n = \frac{(2n)!}{n^n}$$ und $$a_{n+1} = \frac{(2(n+1))!}{(n+1)^{n+1}}$$ dann sehen wir uns einmal das Verhalten von $$\frac{a_{n+1}}{a_n}$$ für \(n\) gegen unendlich an.

$$\lim_{n \to \infty } \frac{(2(n+1))!}{(n+1)^{n+1}}\frac{n^n}{(2n)!} $$

$$= \lim_{n \to \infty } \frac{(2n)!(2n+1)(2n+2)}{(2n)!} \frac{n^n}{(n+1)^n (n+1)}$$

$$= \lim_{n \to \infty } \frac{(2n+1)(2n+2)}{(n+1)} \left(\frac{n}{n+1}\right)^n$$

$$= \lim_{n \to \infty } \frac{2(2n+1)(n+1)}{(n+1)} \left(\frac{n}{n+1}\right)^n$$

$$= 2\lim_{n \to \infty } (2n+1) \lim_{n \to \infty } \left(\frac{n}{n+1}\right)^n$$

$$= 2(\infty \cdot \frac{1}{e}) = \infty > 1$$

daher ist die Reihe divergent!

Comments

Vielen Dank!

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Ich habe zu danken!

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Hinter deinem ersten Limes fehlt das Divisionszeichen zwischen den beiden Brüchen.

Answer 2

Kleine Zahlen für n eingesetzt:

n	\(\sum \limits_{n=1}^{\infty}\frac{(2n)!}{n^{n}}\)
1	2
2	8
3	34\( \frac{2}{3} \)
4	192\( \frac{1}{6} \)

Nach Konvergenz sieht das nicht aus.

Comments

Ja, stimmt. Dann steht wieder Unsinn in den Lösungen. Danke!

Answer 3

Quotientenkriterium funktioniert auf jeden Fall.

Es geht aber einfacher:

$$\frac{(2n)!}{n^n}=\frac{n!\cdot \overbrace{(n+1)(n+2)\cdots (n+n)}^{>n^n}}{n^n}> n!$$

Comments

Ich werd nicht ganz schlau draus. Zeigst du hier, dass die Partialsumme der Reihe größer ist als n! welches divigiert? (bzw. Minorantenkriterium?)

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Eine notwendige Bedingung für die Konvergenz einer Reihe ist, dass die Reihenglieder eine Nullfolge bilden.

Die Rechnung oben zeigt aber, dass dies nicht der Fall ist.

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Alles klar, Danke!