Question

Berechnen Sie die folgenden Grenzwerte:
\( \lim \limits_{x \rightarrow \infty} \frac{x^{2}+x+1}{2(x+1)(x+3)}, \quad \lim \limits_{x \rightarrow \infty} \frac{\sin x}{x}, \quad \lim \limits_{x \rightarrow \infty} \frac{x^{2}}{2^{x}} . \)

Answer 1

zu 2: sin(x) <= 1, von daher :

lim x->unendlich sin(x)/x

<= lim x->unendlich 1/x =0

zu 3: 2^x=e^(x*ln(2))

=> x^2/2^x = x^2/e^(x*ln(2))

für x nach unendlich kommt unendlich/unendlich, wende dafür l'Hospital-Regel an:

(x^2)'=2x

(e^(x*ln(2)))'=ln(2)*(e^(x*ln(2)))

2x/(ln(2)*e^(x*ln(2))) geht wieder nach unendlich/unendlich, wende l'Hospital-Regel an:

(2x)'=2

und (ln(2)*(e^(x*ln(2))))'=ln(2)^2*e^(x*ln(2))

2/ln(2)^2*e^(x*ln(2)) , der Nenner geht nach unendlich, da die exp-Funktion hier streng monoton steigend ist und der Zähler ist konstant, von daher ist der Grenzwert hier dann 0.

Answer 2

\( \lim\limits_{x\to\infty}\frac{x^2+x+1}{2(x+1)(x+3)}\\= \lim\limits_{x\to\infty}\frac{x^2+x+1}{2x^2+8x+6}\\= \lim\limits_{x\to\infty}\frac{1+\frac{1}{x}+\frac{1}{x^2}}{2+\frac{8}{x}+\frac{6}{x^2}}\\=\frac{1}{2} \)

Answer 3

a) 2-mal L'Hospital

(2x+1)/ (4x+8) -> 2/4 -> lim = 1/2

b) x wächst über alle Maßen, sin bewegt sich zw. -1 und 1

 -> lim = 0

c) 2^x wächst schneller als x^2 -> lim = 0