Bestimmen Sie jeweils den Wert der folgenden Reihen:

Question

Aufgabe:

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Aufgabe \( 5(3+4+3 \) Punkte). Bestimmen Sie jeweils den Wert der folgenden Reihen:
(a) \( \sum \limits_{n=1}^{\infty}\left(2^{2-3 n} \cdot 3^{n-1}\right) \).
(b) \( \sum \limits_{k=1}^{\infty} \frac{1}{k(k+1)(k+2)} \).
Hinweis: Bestimmen Sie \( A, B, C \in \mathbb{R} \) mit \( \frac{1}{k(k+1)(k+2)}=\frac{A}{k}+\frac{B}{k+1}+\frac{C}{k+2} \).
(c) \( \sum \limits_{n=1}^{\infty} \frac{1}{f_{n} f_{n+2}} \), wobei \( f_{n} \) die \( n \)-te Fibonacci-Zahl ist (vgl. Blatt 4).
Hinweis: Betrachten Sie \( f_{n}^{-1} f_{n+1}^{-1}-f_{n+1}^{-1} f_{n+2}^{-1} \) für \( n \in \mathbb{N} \).

Ich verstehe die b) nicht. Ich hätte den Term in das Produkt 1/k * 1/k+1 * 1/k+2 geteilt anstatt in die Summe ? Kann mir jemand erklären, wieso eine summe hier der richtige ansatz ist und wie ich A, B und C bestimmen soll?

Answer 1

Wandle \( \frac{1}{k(k+1)(k+2)} \) in eine Summe der Form \( \frac{A}{k} \)+\( \frac{B}{k+1} \)+\( \frac{C}{k+2} \) um.

Die gesuchte Summe ist dann eine schöne Teleskopsumme.

Comments

Wie wärs mit

A = 1/3 * ((k+1)(k+2))^-1

B = 1/3 * (k(k+2))^-1

C = 1/3 * (k(k+1)^-1

Was anderes fällt mir leider nicht ein haha

Lg

Answer 2

Hallo

a)ziehe 4/3 aus der Summe, dann sieht man indem man den Bruch als hoch n schreibt die geometrische Reihe

b) ergibt sich nach Ausführen des Hinweises. das Aufteilen in ein Produkt hilft gar nichts . dagegen dies sog. Partialbruchzerlegung hilft,

ich zeige an einem einfacheren Beispiel:

1/(k*(k+1)=A/k+B/(k+1)=(Ak+A+Bk)/(k*(k+1)) jetzt sieht man der Zähler muss 1 sein und darf nich von k abhängen deshalb A=1,Ak+Bk=0 Also B=-A=-1

damit hat man 1/(k*(k+1)=1/k- 1/(k+1) und jetzt siehst du dass in dieser Summe darüber  fast alles wegfallen würde außer dem Glied für k=1und dem n ten Glied -1/(n+1)

c) sieh die Eigenschaften der Fibonaccci Zahlen nach.

Gruß lul

Comments

Danke!

Oh dann gingen meine versuche für die b) ja ganz in die falsche richtung ..

Lg

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Und zwar deshalb, weil für endliche Summen ∑ (a_n·b_n·c_n) ≠ (∑a_n)·(∑b_n)·(∑c_n) hingegen sehr wohl ∑ (a_n+b_n+c_n) = (∑a_n)+(∑b_n)+(∑c_n)  ist.

Answer 3

a) = 2^2/2^(3n)* 3^n/3 = 4/3* (3/8)^n

-> Summe = 4/3*  (3/8)/(1-3/8) = 0.8