Finde eine Matrix, sodass S*A*S^-1=D

Question

Hallo,

Ich habe eine Aufgabe, bei der ich mir sehr unsicher bin. Bei der Aufgabe b) habe ich die Matrizen mithilfe der Eigenwerte und der Eigenvektoren aufgestellt. Jedoch verstehe ich nicht was mit S_k ∈ {1,2,3} genau gemeint ist.

Unten ist ein Bild meiner Rechnung. Habe ich Aufgabe richtig verstanden?

Vielen Dank im Voraus

Text erkannt:

Aufgabe 1: Wir betrachten die Matrizen
\( A_{1}=\left(\begin{array}{ccc} 1 & -2 & 0 \\ 0 & -1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{array}\right), \quad A_{2}=\left(\begin{array}{ccc} 1 & -1 & 2 \\ 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & -1 \end{array}\right), \quad A_{3}=\left(\begin{array}{ccc} 2 & 3 & -3 \\ 1 & 2 & -1 \\ 1 & 3 & -2 \end{array}\right) . \)
(a) Berechnen Sie die Produkte \( A_{1} A_{2}, A_{2} A_{1}, A_{1} A_{3}, A_{3} A_{1}, A_{2} A_{3}, A_{3} A_{2} \).
(b) Finden Sie invertierbare Matrizen \( S_{k} \) für \( k \in\{1,2,3\} \), sodass \( S_{k}^{-1} A_{k} S_{k} \) eine Diagonalmatrix ist.
(c) Für welche \( k, \ell \in\{1,2,3\} \) mit \( k \neq \ell \) existieren invertierbare Matrizen \( S_{k, \ell} \), sodass \( S_{k, \ell}^{-1} A_{k} S_{k, \ell} \) und \( S_{k, \ell}^{-1} A_{\ell} S_{k, \ell} \) Diagonalmatrizen sind (d.h. \( A_{k} \) und \( A_{\ell} \) können mit der gleichen Matrix diagonalisiert werden)?
(d) Vergleichen Sie Ihre Ergebnisse aus (a) und (c). Was fällt Ihnen auf?

Text erkannt:

\( S=\left(\begin{array}{ccc} 1 & 2 & 3 \\ 2 & 1 & 3 \\ 2 & 3 & 1 \end{array}\right) \quad \frac{S_{k}^{-1}}{E V^{-1}} \cdot A_{k} \cdot \frac{S_{k}}{E V}=\frac{D}{E N} \)
- Eigenverte

Charakteristisches Polynom:
\( \begin{array}{l} -\lambda^{3}+3 \lambda^{2}+16 \lambda+12:(\lambda+2)=-\lambda^{2}+5 \lambda+6 \quad \rightarrow \quad \lambda_{1}=-2 \\ \frac{-\left(-\lambda^{3}-2 \lambda^{2}\right)}{5 \lambda^{2}}+16 \lambda+12 \\ \lambda_{2}=-1 \\ \lambda_{3}=6 \\ D=\left(\begin{array}{ccc} -2 & 0 & 0 \\ 0 & -1 & 0 \\ 0 & 0 & 6 \end{array}\right) \\ \begin{array}{r} -\frac{5 \lambda^{2}+10 \lambda}{6 \lambda+12} \\ \frac{-6 \lambda+12}{0} \end{array} \\ \end{array} \)
- Eigenvektoren
\( \begin{array}{l} \lambda_{1}=-2 \quad v_{1}=\left(\begin{array}{c} -3 \\ -3 \\ 5 \end{array}\right) \\ \lambda_{2}=-1 \quad v_{2}=\left(\begin{array}{c} -5 \\ 2 \\ 2 \end{array}\right) \quad S_{k}=\left(\begin{array}{ccc} -3 & -5 & 1 \\ -3 & 2 & 1 \\ 5 & 2 & 1 \end{array}\right) \\ \lambda_{3}=6 \quad S_{k}^{-1}=\left(\begin{array}{c} 1 \\ 1 \\ 1 \end{array}\right) \\ \left.0 \begin{array}{cccc} -1 / 7 & 1 / 7 & 0 \\ 2 / 7 & 19 / 56 & 3 / 8 \end{array}\right) \\ \left(\begin{array}{ccc} 0 & -1 / 8 & 1 / 8 \\ -1 / 7 & 1 / 7 & 0 \\ 2 / 7 & 19 / 56 & 3 / 3 \end{array}\right)\left(\begin{array}{ccc} 1 & 2 & 3 \\ 2 & 1 & 3 \\ 2 & 3 & 1 \end{array}\right)\left(\begin{array}{ccc} -3 & -5 & 1 \\ -3 & 2 & 1 \\ 5 & 2 & 1 \end{array}\right)=\left(\begin{array}{ccc} -2 & 0 & 0 \\ 0 & -1 & 0 \\ 0 & 0 & 6 \end{array}\right) \end{array} \)

Answer 1

Deine Lösung zu b) ist richtig. Aber achte genau auf die Bezeichungen, gesucht ist hier \(S_1\).

Was in c) gemeint ist, steht ja in Klammern dabei: Es geht hier um simultane Diagonalisierung zweier Matrizen, dabei bezieht sich die Frage auf alle möglichen Paare, die aus den drei A's gebildet werden können (das sind drei Paare). Die Theorie dazu, und wie man es rechnet, findest Du sicherlich in Deinen Vorlesungsunterlagen.

Comments

Danke für b :)

Ich verstehe aber noch nicht ganz was bei c gemeint ist. Eine der drei Paare ( A2A3 und A3A2) ist ja nicht invertierbar. Müsste also eins der anderen beiden Paare die selbe Diagonalmatrix besitzen?

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Es geht nicht um invertierbare Paare, sondern - lies die Aufgabe genau, schau auch in die Vorlesungsunterlagen - ob es ein \(S\) gibt, so dass \(SA_1S^{-1}=D_1\) und auch \(SA_2S^{-1}=D_2\). Das wäre für das Paar \(A_1,A_2\). Genauso für die anderen Paare.

Was steht in Deinen Vorlesungsunterlagen dazu?

Answer 2

In der Überschrift steht was anderes als in der Aufgabe?

Wo kommt denn das S in Deiner Rechnung her und worauf soll sich die Rechnung beziehen?

Zur Diagonalisierung über Eigenvektoren

https://www.geogebra.org/m/BpqJ28eP#material/upUZg79r

A_1 ->  A:= {{1, -2,0}, {0,-1,0}, {0,0, 1}}