Hallo,
Ich habe eine Aufgabe, bei der ich mir sehr unsicher bin. Bei der Aufgabe b) habe ich die Matrizen mithilfe der Eigenwerte und der Eigenvektoren aufgestellt. Jedoch verstehe ich nicht was mit Sk ∈ {1,2,3} genau gemeint ist.
Unten ist ein Bild meiner Rechnung. Habe ich Aufgabe richtig verstanden?
Vielen Dank im Voraus
Text erkannt:
Aufgabe 1: Wir betrachten die Matrizen
\( A_{1}=\left(\begin{array}{ccc} 1 & -2 & 0 \\ 0 & -1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{array}\right), \quad A_{2}=\left(\begin{array}{ccc} 1 & -1 & 2 \\ 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & -1 \end{array}\right), \quad A_{3}=\left(\begin{array}{ccc} 2 & 3 & -3 \\ 1 & 2 & -1 \\ 1 & 3 & -2 \end{array}\right) . \)
(a) Berechnen Sie die Produkte \( A_{1} A_{2}, A_{2} A_{1}, A_{1} A_{3}, A_{3} A_{1}, A_{2} A_{3}, A_{3} A_{2} \).
(b) Finden Sie invertierbare Matrizen \( S_{k} \) für \( k \in\{1,2,3\} \), sodass \( S_{k}^{-1} A_{k} S_{k} \) eine Diagonalmatrix ist.
(c) Für welche \( k, \ell \in\{1,2,3\} \) mit \( k \neq \ell \) existieren invertierbare Matrizen \( S_{k, \ell} \), sodass \( S_{k, \ell}^{-1} A_{k} S_{k, \ell} \) und \( S_{k, \ell}^{-1} A_{\ell} S_{k, \ell} \) Diagonalmatrizen sind (d.h. \( A_{k} \) und \( A_{\ell} \) können mit der gleichen Matrix diagonalisiert werden)?
(d) Vergleichen Sie Ihre Ergebnisse aus (a) und (c). Was fällt Ihnen auf?
Text erkannt:
\( S=\left(\begin{array}{ccc} 1 & 2 & 3 \\ 2 & 1 & 3 \\ 2 & 3 & 1 \end{array}\right) \quad \frac{S_{k}^{-1}}{E V^{-1}} \cdot A_{k} \cdot \frac{S_{k}}{E V}=\frac{D}{E N} \)
- Eigenverte
Charakteristisches Polynom:
\( \begin{array}{l} -\lambda^{3}+3 \lambda^{2}+16 \lambda+12:(\lambda+2)=-\lambda^{2}+5 \lambda+6 \quad \rightarrow \quad \lambda_{1}=-2 \\ \frac{-\left(-\lambda^{3}-2 \lambda^{2}\right)}{5 \lambda^{2}}+16 \lambda+12 \\ \lambda_{2}=-1 \\ \lambda_{3}=6 \\ D=\left(\begin{array}{ccc} -2 & 0 & 0 \\ 0 & -1 & 0 \\ 0 & 0 & 6 \end{array}\right) \\ \begin{array}{r} -\frac{5 \lambda^{2}+10 \lambda}{6 \lambda+12} \\ \frac{-6 \lambda+12}{0} \end{array} \\ \end{array} \)
- Eigenvektoren
\( \begin{array}{l} \lambda_{1}=-2 \quad v_{1}=\left(\begin{array}{c} -3 \\ -3 \\ 5 \end{array}\right) \\ \lambda_{2}=-1 \quad v_{2}=\left(\begin{array}{c} -5 \\ 2 \\ 2 \end{array}\right) \quad S_{k}=\left(\begin{array}{ccc} -3 & -5 & 1 \\ -3 & 2 & 1 \\ 5 & 2 & 1 \end{array}\right) \\ \lambda_{3}=6 \quad S_{k}^{-1}=\left(\begin{array}{c} 1 \\ 1 \\ 1 \end{array}\right) \\ \left.0 \begin{array}{cccc} -1 / 7 & 1 / 7 & 0 \\ 2 / 7 & 19 / 56 & 3 / 8 \end{array}\right) \\ \left(\begin{array}{ccc} 0 & -1 / 8 & 1 / 8 \\ -1 / 7 & 1 / 7 & 0 \\ 2 / 7 & 19 / 56 & 3 / 3 \end{array}\right)\left(\begin{array}{ccc} 1 & 2 & 3 \\ 2 & 1 & 3 \\ 2 & 3 & 1 \end{array}\right)\left(\begin{array}{ccc} -3 & -5 & 1 \\ -3 & 2 & 1 \\ 5 & 2 & 1 \end{array}\right)=\left(\begin{array}{ccc} -2 & 0 & 0 \\ 0 & -1 & 0 \\ 0 & 0 & 6 \end{array}\right) \end{array} \)
