System von Differenzengleichungen lösen

Question

Aufgabe:

Kann mir hier jemand bitte sagen was die Lösung sein sollte?Danke im Voraus :)

Lösen Sie das folgende System von linearen Differenzengleichungen.
$\begin{array}{l} x_{k+1}=2 \cdot y_{k}-x_{k} \\ y_{k+1}=3 \cdot y_{k}+3 \cdot x_{k} \end{array}$

Answer 1

Hallo,

Kann mir hier jemand bitte sagen was die Lösung sein sollte?

ich vermute mal, dass eine Funktion von $n$ bzw. eine Matrix $T(n)$ gesucht ist, mit der man für einen beliebiegen Wert $n$ das Paar $(x_n,\,y_n)$ aus $(x_0,\,y_0)$ berechnen kann, ohne $n$-mal obiges GLS bemühen zu müssen. Also $\vec{x}_{n} = T(n)\vec{x}_0$

Bringe dazu die Matrix $A$ aus$$\begin{pmatrix} x_{k+1}\\y_{k+1} \end{pmatrix} = \begin{pmatrix}-1& 2\\ 3& 3\end{pmatrix}\begin{pmatrix} x_{k}\\y_{k} \end{pmatrix} \\ \vec{x}_{k+1} = A\vec{x}_{k}$$in die Form $$\vec{x}_{k+1} = \underbrace{SDS^{-1}}_{=A}\,\vec{x}_{k}$$wobei $D$ eine Diagonalform ist. Dann ist $$\vec{x}_n = SD^{n}S^{-1} \,\vec{x}_0\\ D^n = \begin{pmatrix} d_{11}^n & 0 \\ 0 & d_{22}^n \end{pmatrix}$$

Weißt Du wie das geht?

Gruß Werner

Comments

Hallo danke für die schnelle antwort.Das hier wären die möglichen antworten.Ich tendiere momentan zur nr 3.Stimmt das?

$\begin{array}{l}\left(\begin{array}{l}x_{k} \\ y_{k}\end{array}\right)=C_{1}(1-\sqrt{10})^{k}\left(\begin{array}{c}1 \\ \frac{\sqrt{10}-2}{2}\end{array}\right)+C_{2}(\sqrt{10}+1)^{k}\left(\begin{array}{c}1 \\ -\frac{\sqrt{10}+2}{2}\end{array}\right) \\ \left(\begin{array}{l}x_{k} \\ y_{k}\end{array}\right)=C_{1}(1-\sqrt{10})^{k}\left(\begin{array}{c}1 \\ -\frac{\sqrt{10}-2}{2}\end{array}\right)+C_{2}(-\sqrt{10}-1)^{k}\left(\begin{array}{c}1 \\ -\frac{\sqrt{10}+2}{2}\end{array}\right) \\ \left(\begin{array}{l}x_{k} \\ y_{k}\end{array}\right)=C_{1}(1-\sqrt{10})^{k}\left(\begin{array}{c}1 \\ -\frac{\sqrt{10}-2}{2}\end{array}\right)+C_{2}(\sqrt{10}+1)^{k}\left(\begin{array}{c}1 \\ \frac{\sqrt{10}+2}{2}\end{array}\right) \\ \left(\begin{array}{l}x_{k} \\ y_{k}\end{array}\right)=C_{1}(\sqrt{10}-1)^{k}\left(\begin{array}{c}1 \\ \frac{\sqrt{10}-2}{2}\end{array}\right)+C_{2}(\sqrt{10}+1)^{k}\left(\begin{array}{c}1 \\ \frac{\sqrt{10}+2}{2}\end{array}\right)\end{array}$

Answer 2

Hallo,

ich habe das über die Eigenwerte und Eigenvektoren gerechnet und erhalten:

A=$\left(\begin{array}{cc}-1 & 2 \\ 3 & 3\end{array}\right)$

 $\left(\begin{array}{l}x_{k} \\ y_{k}\end{array}\right)$  $=C_{1} {(1+\sqrt{10})^k}\left(\begin{array}{c}-2+\sqrt{10} \\ 3\end{array}\right)+C_{2} {(1-\sqrt{10}) ^k}\left(\begin{array}{c}-\sqrt{10}-2 \\ 3\end{array}\right)$

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Danke für die schnelle antwort .Mögliche Antworten seien folgende

$\begin{array}{l}\left(\begin{array}{l}x_{k} \\ y_{k}\end{array}\right)=C_{1}(1-\sqrt{10})^{k}\left(\begin{array}{c}1 \\ \frac{\sqrt{10}-2}{2}\end{array}\right)+C_{2}(\sqrt{10}+1)^{k}\left(\begin{array}{c}1 \\ -\frac{\sqrt{10}+2}{2}\end{array}\right) \\ \left(\begin{array}{l}x_{k} \\ y_{k}\end{array}\right)=C_{1}(1-\sqrt{10})^{k}\left(\begin{array}{c}1 \\ -\frac{\sqrt{10}-2}{2}\end{array}\right)+C_{2}(-\sqrt{10}-1)^{k}\left(\begin{array}{c}1 \\ -\frac{\sqrt{10}+2}{2}\end{array}\right) \\ \left(\begin{array}{l}x_{k} \\ y_{k}\end{array}\right)=C_{1}(1-\sqrt{10})^{k}\left(\begin{array}{c}1 \\ -\frac{\sqrt{10}-2}{2}\end{array}\right)+C_{2}(\sqrt{10}+1)^{k}\left(\begin{array}{c}1 \\ \frac{\sqrt{10}+2}{2}\end{array}\right) \\ \left(\begin{array}{l}x_{k} \\ y_{k}\end{array}\right)=C_{1}(\sqrt{10}-1)^{k}\left(\begin{array}{c}1 \\ \frac{\sqrt{10}-2}{2}\end{array}\right)+C_{2}(\sqrt{10}+1)^{k}\left(\begin{array}{c}1 \\ \frac{\sqrt{10}+2}{2}\end{array}\right)\end{array}$

Nummer 3 sollte dann richtig sein stimmts?

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ich bin auch für Nummer 3

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Sicher das es nicht die 1 ist?

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Warum fragst Du? Mach doch einfachveone Probe.

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mal 'ne blöde Frage: was müsste denn für $k=0$ heraus kommen?