Gelöst werden sollte das folgende System von linearen Differenzengleichungen

Question

Aufgabe:

Lösen Sie das folgende System von linearen Differenzengleichungen.
\( \begin{array}{l} x_{k+1}=-y_{k}-2 \cdot x_{k} \\ y_{k+1}=2 \cdot y_{k}-x_{k} \end{array} \)


(a:)  \( \left(\begin{array}{l}x_{k} \\ y_{k}\end{array}\right)=C_{1}(\sqrt{5})^{k}\left(\begin{array}{c}1 \\ 2-\sqrt{5}\end{array}\right)+C_{2}(\sqrt{5})^{k}\left(\begin{array}{c}1 \\ -\sqrt{5}-2\end{array}\right) \)

(b:)  \( \left(\begin{array}{l}x_{k} \\ y_{k}\end{array}\right)=C_{1}(-\sqrt{5})^{k}\left(\begin{array}{c}1 \\ \sqrt{5}-2\end{array}\right)+C_{2}(-\sqrt{5})^{k}\left(\begin{array}{c}1 \\ \sqrt{5}+2\end{array}\right) \)

(c:)  \( \left(\begin{array}{l}x_{k} \\ y_{k}\end{array}\right)=C_{1}(-\sqrt{5})^{k}\left(\begin{array}{c}1 \\ \sqrt{5}-2\end{array}\right)+C_{2}(\sqrt{5})^{k}\left(\begin{array}{c}1 \\ -\sqrt{5}-2\end{array}\right) \)

(d:)  \( \left(\begin{array}{l}x_{k} \\ y_{k}\end{array}\right)=C_{1}(-\sqrt{5})^{k}\left(\begin{array}{c}1 \\ 2-\sqrt{5}\end{array}\right)+C_{2}(\sqrt{5})^{k}\left(\begin{array}{c}1 \\ \sqrt{5}+2\end{array}\right) \) 

Problem/Ansatz:

Was sollte hier das Ergebnis sein ? danke im voraus :)

Comments

Hallo,

meine Berechnung:

Ergebnis Wolfram alpha:

Ein 2. Rechner:

https://matrixcalc.org/de/vectors.html#eigenvectors%28%7B%7B-2,-1%7D,%7B-1,2%7D%7D%29

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In der von dir vorgeschlagenen Lösung sind x und y vertauscht.

Man erhält die in (c) angegebenen Eigenvektoren, indem man die von z. Bsp. WolframAlpha berechneten jeweils geeignet skaliert:

Eigenwert \(-\sqrt 5\):

$$\begin{pmatrix} \sqrt 5 + 2 \\1 \end{pmatrix} \stackrel{\cdot (\sqrt 5 - 2)}{\Rightarrow}  \begin{pmatrix} 1\\\sqrt 5 - 2 \end{pmatrix}$$

Eigenwert \(\sqrt 5\):

$$\begin{pmatrix} -\sqrt 5 + 2 \\1 \end{pmatrix} \stackrel{\cdot (\sqrt 5 + 2)}{\Rightarrow}  \begin{pmatrix} -1\\\sqrt 5 + 2 \end{pmatrix} \stackrel{\cdot (-1)}{\Rightarrow} \begin{pmatrix} 1\\ -\sqrt 5 - 2 \end{pmatrix}$$

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JA, Du hast Recht, c ist die Lösung.

Answer 1

Die Antwort ist (c).

Das System hat die Matrixform

$$\begin{pmatrix} x_{k+1}\\y_{k+1} \end{pmatrix} = \underbrace{\begin{pmatrix} -2 & -1 \\ -1 & 2 \end{pmatrix}}_{M=}\begin{pmatrix} x_{k}\\y_{k} \end{pmatrix}$$

Die Eigenwerte von M sind \(-\sqrt 5\) und \(\sqrt 5\). Passende Eigenvektoren sind

\(\begin{pmatrix} 1\\\sqrt 5 - 2 \end{pmatrix}\) bzw. \(\begin{pmatrix} 1\\-\sqrt 5 - 2 \end{pmatrix}\).