System von Differenzengleichungen lösen

Question

Aufgabe:

Kann mir hier jemand bitte sagen was die Lösung sein sollte?Danke im Voraus :)

Lösen Sie das folgende System von linearen Differenzengleichungen.
\( \begin{array}{l} x_{k+1}=2 \cdot y_{k}-x_{k} \\ y_{k+1}=3 \cdot y_{k}+3 \cdot x_{k} \end{array} \)

Answer 1

Hallo,

Kann mir hier jemand bitte sagen was die Lösung sein sollte?

ich vermute mal, dass eine Funktion von \(n\) bzw. eine Matrix \(T(n)\) gesucht ist, mit der man für einen beliebiegen Wert \(n\) das Paar \((x_n,\,y_n)\) aus \((x_0,\,y_0)\) berechnen kann, ohne \(n\)-mal obiges GLS bemühen zu müssen. Also \(\vec{x}_{n} = T(n)\vec{x}_0\)

Bringe dazu die Matrix \(A\) aus$$\begin{pmatrix} x_{k+1}\\y_{k+1} \end{pmatrix} = \begin{pmatrix}-1& 2\\ 3& 3\end{pmatrix}\begin{pmatrix} x_{k}\\y_{k} \end{pmatrix} \\ \vec{x}_{k+1} = A\vec{x}_{k}$$in die Form $$\vec{x}_{k+1} = \underbrace{SDS^{-1}}_{=A}\,\vec{x}_{k}$$wobei \(D\) eine Diagonalform ist. Dann ist $$\vec{x}_n = SD^{n}S^{-1} \,\vec{x}_0\\ D^n = \begin{pmatrix} d_{11}^n & 0 \\ 0 & d_{22}^n \end{pmatrix}$$

Weißt Du wie das geht?

Gruß Werner

Comments

Hallo danke für die schnelle antwort.Das hier wären die möglichen antworten.Ich tendiere momentan zur nr 3.Stimmt das?

\( \begin{array}{l}\left(\begin{array}{l}x_{k} \\ y_{k}\end{array}\right)=C_{1}(1-\sqrt{10})^{k}\left(\begin{array}{c}1 \\ \frac{\sqrt{10}-2}{2}\end{array}\right)+C_{2}(\sqrt{10}+1)^{k}\left(\begin{array}{c}1 \\ -\frac{\sqrt{10}+2}{2}\end{array}\right) \\ \left(\begin{array}{l}x_{k} \\ y_{k}\end{array}\right)=C_{1}(1-\sqrt{10})^{k}\left(\begin{array}{c}1 \\ -\frac{\sqrt{10}-2}{2}\end{array}\right)+C_{2}(-\sqrt{10}-1)^{k}\left(\begin{array}{c}1 \\ -\frac{\sqrt{10}+2}{2}\end{array}\right) \\ \left(\begin{array}{l}x_{k} \\ y_{k}\end{array}\right)=C_{1}(1-\sqrt{10})^{k}\left(\begin{array}{c}1 \\ -\frac{\sqrt{10}-2}{2}\end{array}\right)+C_{2}(\sqrt{10}+1)^{k}\left(\begin{array}{c}1 \\ \frac{\sqrt{10}+2}{2}\end{array}\right) \\ \left(\begin{array}{l}x_{k} \\ y_{k}\end{array}\right)=C_{1}(\sqrt{10}-1)^{k}\left(\begin{array}{c}1 \\ \frac{\sqrt{10}-2}{2}\end{array}\right)+C_{2}(\sqrt{10}+1)^{k}\left(\begin{array}{c}1 \\ \frac{\sqrt{10}+2}{2}\end{array}\right)\end{array} \)

Answer 2

Hallo,

ich habe das über die Eigenwerte und Eigenvektoren gerechnet und erhalten:

A=\( \left(\begin{array}{cc}-1 & 2 \\ 3 & 3\end{array}\right) \)

 \( \left(\begin{array}{l}x_{k} \\ y_{k}\end{array}\right) \)  \( =C_{1} {(1+\sqrt{10})^k}\left(\begin{array}{c}-2+\sqrt{10} \\ 3\end{array}\right)+C_{2} {(1-\sqrt{10}) ^k}\left(\begin{array}{c}-\sqrt{10}-2 \\ 3\end{array}\right) \)

Comments

Danke für die schnelle antwort .Mögliche Antworten seien folgende

\( \begin{array}{l}\left(\begin{array}{l}x_{k} \\ y_{k}\end{array}\right)=C_{1}(1-\sqrt{10})^{k}\left(\begin{array}{c}1 \\ \frac{\sqrt{10}-2}{2}\end{array}\right)+C_{2}(\sqrt{10}+1)^{k}\left(\begin{array}{c}1 \\ -\frac{\sqrt{10}+2}{2}\end{array}\right) \\ \left(\begin{array}{l}x_{k} \\ y_{k}\end{array}\right)=C_{1}(1-\sqrt{10})^{k}\left(\begin{array}{c}1 \\ -\frac{\sqrt{10}-2}{2}\end{array}\right)+C_{2}(-\sqrt{10}-1)^{k}\left(\begin{array}{c}1 \\ -\frac{\sqrt{10}+2}{2}\end{array}\right) \\ \left(\begin{array}{l}x_{k} \\ y_{k}\end{array}\right)=C_{1}(1-\sqrt{10})^{k}\left(\begin{array}{c}1 \\ -\frac{\sqrt{10}-2}{2}\end{array}\right)+C_{2}(\sqrt{10}+1)^{k}\left(\begin{array}{c}1 \\ \frac{\sqrt{10}+2}{2}\end{array}\right) \\ \left(\begin{array}{l}x_{k} \\ y_{k}\end{array}\right)=C_{1}(\sqrt{10}-1)^{k}\left(\begin{array}{c}1 \\ \frac{\sqrt{10}-2}{2}\end{array}\right)+C_{2}(\sqrt{10}+1)^{k}\left(\begin{array}{c}1 \\ \frac{\sqrt{10}+2}{2}\end{array}\right)\end{array} \)

Nummer 3 sollte dann richtig sein stimmts?

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ich bin auch für Nummer 3

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Sicher das es nicht die 1 ist?

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Warum fragst Du? Mach doch einfachveone Probe.

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mal 'ne blöde Frage: was müsste denn für \(k=0\) heraus kommen?