Aufgabe:
Zeige, dass \( \mathbb{R} / \mathbb{Z} \) isomorph zur multiplikativen Gruppe \( H=\left\{a+b i \in \mathbb{C} ; a^{2}+b^{2}=1\right\} \) ist.
Problem/Ansatz:
Mein Ansatz wäre jetzt gewesen eine Abbildung \( \phi: \mathbb{R} \rightarrow S \), durch \( r \mapsto e^{2 \pi i r} \) zu definieren.
Somit müsste man dann ja zeigen, dass \( \phi: \mathbb{R} \rightarrow H \) ein surjektiver Homomorphismus ist:
Für \( r, s \in \mathbb{R} \) gilt:
\( \phi(r+s)=e^{2 \pi i(r+s)}=e^{2 \pi i r} \cdot e^{2 \pi i s}=\phi(r) \cdot \phi(s) \)
Sei \( z \in H \), d.h., \( z=a+b i \) mit \( a^{2}+b^{2}=1 \). Dann existiert \( \theta \) so, dass \( \cos (\theta)=a \) und \( \sin (\theta)=b \). Setze \( r=\frac{\theta}{2 \pi} \). Dann ist \( \phi(r)=e^{2 \pi i \cdot \frac{\theta}{2 \pi}}=e^{i \theta}=\cos (\theta)+i \sin (\theta)=a+b i=z \).
Jetzt müsste man doch den Kern Φ bestimmen:
\( \operatorname{ker}(\phi)=\left\{r \in \mathbb{R} \mid \phi(r)=e^{2 \pi i r}=1\right\} \)
Hierbei ist \( e^{2 \pi i r}=1 \) genau dann der Fall, wenn \( r \) eine ganze Zahl ist, weil \( e^{2 \pi i k}= \) \( \cos (2 \pi k)+i \sin (2 \pi k)=1 \) für \( k \in \mathbb{Z} \).
Mit dem ersten Isomorphiesatz könnte ich doch dann Schlussfolgern \( \mathbb{R} / \operatorname{ker}(\phi) \cong \operatorname{Im}(\phi) \), woraus die Behauptung folgt?
Kann ich das so mit der definierten Abbildung zeigen und stimmen meine Überlegungen?
