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Bestimmen Sie \( a \) und \( q \) so, dass der Graph der Funktion \( f \) mit \( f(x)=a \cdot q^{x} \) durch die Punkte \( P \) und \( Q \) verläuft.
i. \( \quad P(3 \mid 15), Q(5 \mid 3) \)
ii. \( \quad P(0 \mid b), Q(c \mid 1) \)
iii. \( \quad P(0 \mid \sqrt{2}), Q(1 \mid 2) \)

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"Algebra ist angefangen worden, sie macht noch ein grimmig Gesicht, doch dencke ich es soll mir auch ein Geist aus diesen Chiffren sprechen, und wenn ich den nur einmal vernehme; so wollen wir uns schon durchhelfen."

- Wolfi von Goethe, 1786, in einem Briefe an die Frau von Stein

3 Antworten

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Bestimmen Sie \( a \) und \( q \) so, dass der Graph der Funktion \( f \) mit \( f(x)=a \cdot q^{x} \) durch die Punkte \( P \) und \( Q \) verläuft.i. \( \quad P(3 \mid 15), Q(5 \mid 3) \)


Löse das Gleichungssystem
15=a·q^3
3=a·q^5

Avatar von 55 k 🚀

wie macht man ii.?

Behandle die Buchstaben wie Zahlen. Die Lösung ist in Abgängigkeit von den Buchstaben anzugeben.

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Zu jeder Teilaufgabe muss ein Gleichungssystem aufgestellt und gelöst werden. Beispiel an (i):

\( P(3 | 15) \Rightarrow f(x) = 15 = a \cdot q^3 \)   (1)

\( Q(5 | 3) \Rightarrow f(x) = 3 = a \cdot q^5 \)        (2)

Aus der ersten Gleichung folgt \( a = \frac{15}{q^3} \), einsetzen in die zweite Gleichung liefert \( 3 = \frac{15}{q^3} \cdot q^5 \), also \( q^2 = \frac{1}{5} \Rightarrow q_1, q_2 = \pm \frac{1}{\sqrt{5}}\). Die beiden Werte in die Gleichung \( a = \frac{15}{q^3} \) einsetzen, und man erhält 2 mögliche Lösungen \( a_1, q_1 \) und \( a_2, q_2 \).


Analog kann man die anderen Teilaufgaben lösen.

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Man könnte auch (2):(1) dividieren und erhält sofort q²=⅕.

Stimmt, hab nicht bedacht, dass \( q \neq 0 \) und \( a \neq 0 \) ist.

wie macht man ii.?

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ii

b=a•q^0=a•1=a → a=b

1=a•q^c=b•q^c → 1/b = q^c → q = (1/b)^{1/c}

f(x)=b•(1/b)^{x/c}

Avatar von 47 k

danke. wie sieht die gleichung am ende aus? so weit bin ich auch gekommen?

so weit bin ich auch gekommen?

Dann hättest du deine Rechnung posten können, statt so zu tun, als wärest du vollkommen ratlos.

Tun doch fast alle. Fragen ohne eigene Ansätze sollten schlicht gelöscht werden. Dann ändert sich vielleicht auch mal etwas am Denken hier. Aber das will man offenbar nicht.

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