Bestimmen Sie a und q so, dass der Graph der Funktion f mit f(x)=a · q^{x} durch die Punkte P und Q verläuft.

Question

Bestimmen Sie \( a \) und \( q \) so, dass der Graph der Funktion \( f \) mit \( f(x)=a \cdot q^{x} \) durch die Punkte \( P \) und \( Q \) verläuft.
i. \( \quad P(3 \mid 15), Q(5 \mid 3) \)
ii. \( \quad P(0 \mid b), Q(c \mid 1) \)
iii. \( \quad P(0 \mid \sqrt{2}), Q(1 \mid 2) \)

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"Algebra ist angefangen worden, sie macht noch ein grimmig Gesicht, doch dencke ich es soll mir auch ein Geist aus diesen Chiffren sprechen, und wenn ich den nur einmal vernehme; so wollen wir uns schon durchhelfen."

- Wolfi von Goethe, 1786, in einem Briefe an die Frau von Stein

Answer 1

Bestimmen Sie \( a \) und \( q \) so, dass der Graph der Funktion \( f \) mit \( f(x)=a \cdot q^{x} \) durch die Punkte \( P \) und \( Q \) verläuft.i. \( \quad P(3 \mid 15), Q(5 \mid 3) \)

Löse das Gleichungssystem
15=a·q^3
3=a·q^5

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wie macht man ii.?

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Behandle die Buchstaben wie Zahlen. Die Lösung ist in Abgängigkeit von den Buchstaben anzugeben.

Answer 2

Zu jeder Teilaufgabe muss ein Gleichungssystem aufgestellt und gelöst werden. Beispiel an (i):

\( P(3 | 15) \Rightarrow f(x) = 15 = a \cdot q^3 \)   (1)

\( Q(5 | 3) \Rightarrow f(x) = 3 = a \cdot q^5 \)        (2)

Aus der ersten Gleichung folgt \( a = \frac{15}{q^3} \), einsetzen in die zweite Gleichung liefert \( 3 = \frac{15}{q^3} \cdot q^5 \), also \( q^2 = \frac{1}{5} \Rightarrow q_1, q_2 = \pm \frac{1}{\sqrt{5}}\). Die beiden Werte in die Gleichung \( a = \frac{15}{q^3} \) einsetzen, und man erhält 2 mögliche Lösungen \( a_1, q_1 \) und \( a_2, q_2 \).

Analog kann man die anderen Teilaufgaben lösen.

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Man könnte auch (2):(1) dividieren und erhält sofort q²=⅕.

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Stimmt, hab nicht bedacht, dass \( q \neq 0 \) und \( a \neq 0 \) ist.

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wie macht man ii.?

Answer 3

ii

b=a•q^0=a•1=a → a=b

1=a•q^c=b•q^c → 1/b = q^c → q = (1/b)^{1/c}

f(x)=b•(1/b)^{x/c}

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danke. wie sieht die gleichung am ende aus? so weit bin ich auch gekommen?

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so weit bin ich auch gekommen?

Dann hättest du deine Rechnung posten können, statt so zu tun, als wärest du vollkommen ratlos.

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Tun doch fast alle. Fragen ohne eigene Ansätze sollten schlicht gelöscht werden. Dann ändert sich vielleicht auch mal etwas am Denken hier. Aber das will man offenbar nicht.